¿Es discreto el $\Bbb Q / \Bbb Z$?

Question

Me gustaría decir que $\Bbb Q / \Bbb Z$ no es discreto (cuando $\Bbb Q$ ha topología euclidiana), ya que $\Bbb Z \subset \Bbb Q$ no está abierto. Pero OTOH tenemos $$\Bbb Q / \Bbb Z \cong \bigoplus_p \Bbb Q_p / \Bbb Z_p$$ que es una suma directa de grupos discretos, por lo que debe ser un grupo discreto. Tal vez el problema es que el anterior isomorfismo es sólo como resumen de los grupos, pero no como grupos topológicos.

Podría alguien confirmar/elaborar sobre esto?

Answer 1

Un no-trivial grupo $G$ siempre puede ser dotado de diversos distintas topologías de lo que es un grupo topológico. Dos "universal opciones" son discretos y topología la topología indiscreta. Ver ¿Qué es, exactamente, un grupo discreto?.

Sin embargo, se considerar $G = \Bbb Q / \Bbb Z$ y hacer hincapié en que $\Bbb Q$ tiene la topología Euclidiana. En ese caso, el único razonable de la topología en $G$ será el cociente de la topología de que, ciertamente, no discretos.

El isomorfismo $\Bbb Q / \Bbb Z \cong \bigoplus_p \Bbb Q_p / \Bbb Z_p$ , solo es una expresión algebraica isomorfismo, no un isomorfismo topológico de los grupos.

Editado: acabo considera que la topología de una infinita suma de $\bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha$ de abelian grupos topológicos. Hay diversos enfoques, véase, por ejemplo,

Higgins, P. J. "co-productos de topológico Abelian de los grupos". Diario de Álgebra 44.1 (1977): 152-159.

https://core.ac.uk/download/pdf/82771298.pdf

Chasco, M. J., y X. Domínguez. "Topologías en la suma directa de topológico abelian de los grupos". Topología y sus Aplicaciones 133.3 (2003): 209-223.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.506.7942&rep=rep1&type=pdf

En mi opinión, la conclusión es que una infinita suma de discretos abelian topológica de los grupos es que no da la topología discreta. Si uno de los "razonable" de las topologías en $\bigoplus_p \Bbb Q_p / \Bbb Z_p$ hace que sea isomorfo como un grupo topológico a $\Bbb Q / \Bbb Z$ no es conocido para mí.