Decir $f'(x)$ de una función se $(x+2) \over (x+3)$. Si $x = -2$ entonces $f'(x)$ = 0, lo que significa que en este momento, no sería un local min o max. Pero lo que si $x = -3$? No existe para $f'(x)$, así que simplemente lo ignoran? Estado en el que se DNE en $x = -3$ así que no es un punto crítico?
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Xander Henderson
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Como es a menudo el caso de las matemáticas, se trata de comenzar con una buena, sólida definición. Aquí están algunas razonable lugares para empezar:
De La Wikipedia:
En matemáticas, un punto crítico o punto fijo de una función derivable de una real o complejo variable es cualquier valor en su dominio , donde su derivada es 0. Algunos autores clasifican también como puntos críticos de cualquier límite de puntos donde ... la derivada no está definida. [énfasis mío]
De MathWorld:
Una función de $y=f(x)$ tiene puntos críticos en todos los puntos de $x_0$ donde $f'(x_0)=0$ o $f(x)$ no es diferenciable. Una función tiene puntos críticos donde el gradiente $\nabla f = \mathbf{b}$ o $\partial f /\partial x$ o la derivada parcial $\partial f / \partial y$ no está definido.
A Partir De Tomás De Cálculo:
Un punto interior del dominio de una función $f$ donde $f'$ es cero o indefinido es un punto crítico de $f$. [negrita el énfasis es mío]
Tenga en cuenta que tanto la Wikipedia y Thomas Cálculo definir los puntos críticos de una función de $f$ a ser los puntos en el dominio de $f$ (Thomas va un paso más allá y sólo considera los puntos en el interior del dominio). El MathWorld definición no hacer esta restricción, ni es su definición de la diferenciabilidad lo suficientemente precisa para requerir ningún tipo de restricción.
Debemos también tener en cuenta el objetivo de definir un punto crítico. En la escuela primaria cálculo de clases, el objetivo es por lo general para pasar a problemas de optimización. En problemas de optimización, buscamos extremos (a) en los lugares donde la derivada es cero (teorema de Fermat), (b) en el límite de puntos en el dominio, y (c) en el dominio de los puntos donde la derivada no existe. Así que puede ser que desee para definir los puntos críticos, de modo que podemos ver a estos tres tipos de comportamiento. Por lo tanto me gustaría proponer que los puntos críticos son bien definido de la siguiente manera (para los fines de una clase de cálculo):
Definición: Un punto crítico de una función de $f$ es un punto de $x_0$ en el dominio de $f$ ejemplo de que cualquiera de las $f'(x_0) = 0$ o $f'(x_0)$ es indefinido.
Tenga en cuenta que la derivada es generalmente considerado indefinido en el límite de un conjunto, por lo que esta definición recoge en todos los tres de los tipos de puntos que nos interesan sin causar problemas.
Por último, la aplicación de esta definición a tu pregunta, $x_0 = 3$ no es un punto crítico de $$ f(x) = \frac{x-2}{x-3}, $$ desde $x_0 = 3$ no está en el dominio de $f$, al menos no como el dominio es generalmente entendido (que podría, supongo, trabajo a lo largo de la extendida números reales).
user496634
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Creo que la explicación más fácil en un básico de cálculo de nivel es simplemente decir que no, no es un punto crítico. Por lo tanto si queremos hacer de problemas en relación con la optimización de una función que no tiene su derivado (o la función) definido en todas partes, entonces usted podría querer considerar la "forma" de que la función cuando la deducción de las cosas, y no siempre la escritura $f'(x)=0$. Por ejemplo, si desea minimizar $1/x$, la configuración de su derivada igual a $0$ obtener $1=0$, lo que nos lleva a la conclusión de que no existen puntos críticos. De hecho, si miramos el gráfico, no hay ninguna "colinas" o "valles". Sin embargo, todavía tiene sentido decir que su valor mínimo es arbitrariamente grande, o, a veces, $-\infty$, en muchos contextos.
Charalampos Filippatos
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Citando A Wikipedia :
En matemáticas, un punto crítico o punto fijo de una función derivable de una real o complejo variable es cualquier valor en su dominio, donde su derivada es $0$. Algunos autores clasifican también como puntos críticos de cualquier límite de puntos donde la función puede ser prolongated por la continuidad o donde la derivada no está definida.
La definición anterior se puede encontrar aquí.
Por lo tanto, todo se reduce a lo que desea definir como un punto crítico. La mayoría de definición estándar (utilizado en los sistemas dinámicos, por ejemplo) en el caso de la derivada igual a cero. Si ese es el caso, no, no es un punto crítico.
Por otro lado, si desea incluir la definición de un punto crítico, los puntos donde la derivada no está definida, entonces sí, $x=-3$ es un punto crítico.
Federico
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