Dimensiones físicas en matemáticas.

Question

Yo estaba interesado en la idea de de formalización de la idea de dimensiones físicas con una estructura algebraica que contiene "todas las cantidades físicas de cualquier tipo". Necesitarías:

• La multiplicación escalar sobre los reales (así que usted puede conseguir "2 kg" de "2 * kg")
• Además dentro de la misma dimensión (así que usted puede tener "kg + kg = 2 kg")
• La multiplicación de dos elementos (así que usted puede tener "J = N m = N * m")
• Inversos (así que usted puede tener "m/s = m * s^(-1)")

Un tensor de álgebra podría formalizar este sistema -- pero entonces quieres conseguir todo tipo de objetos como "1 kg + 1 m", que no tienen sentido.

Un grupo tendría sentido-con la sub-grupos como "las mediciones de masa", "medidas de tiempo", "números reales", "unidades", pero entonces usted no puede tener cero. Además, me gustaría tener alguna noción de unidades o "vectores unitarios"/"la unidad de los tensores".

Lo que es una buena manera de formalizar esto?

Answer 1

Usted podría utilizar una multivariante polinomio anillo de $\mathbb R[x_1, x_2,x_3,x_4,\ldots]$ y el mapa de las unidades de medida para un determinado $x_i$. Para obtener matrices inversas puede ir un paso más allá en el campo de fracciones de este anillo de $\mathbb R(x_1,x_2,x_3,x_4\ldots)$.

Que le permite hacer la adición y $\mathbb R$ escala dentro del subespacio $\langle x_i\rangle$. Las inversiones son, obviamente, posible en el campo de las fracciones.

Esto permite la libre construcción de diferentes productos de diferentes unidades, y se puede decir qué combinación que está pasando por la composición de su monomio coeficiente. Si $x_1$ es kg y $x_2$ es s, entonces $\frac{x_1}{x_2^2}$ es kg/s^2.

Hasta que esté un poco más específico acerca de lo que desea lograr, y por qué sólo el uso de $\mathbb R$ con conversiones entre unidades no satisfacer a su problema, no estoy seguro de qué más se puede decir.

Yo también estoy que no sé por qué usted está preocupado acerca de la adición entre objetos, donde además no es apropiado. ¿Por qué quieres eliminar? Esto sucede todo el tiempo en interpretaciones físicas de álgebra de Clifford, y el álgebra de Clifford es todavía útil. Extra tonterías que no usamos no es una justificación para tirar las cosas con las que trabaja.