Leyes de ecuación que se mantienen en el grupo simétrico$S_3$

Question

Estoy participando en el grupo de teoría (al menos yo estoy tratando de conseguir la mejor) y así me encontré con un problema tratar con el grupo simétrico $S_3$.

La primera pregunta es para encontrar un (ecuacional) de la ley de $\gamma$, que tiene en $S_3$, pero no se mantienen en algunos otros grupos. Además debo encontrar un grupo de $G$ con $ |G| > |S_3| $, que satisface todas las leyes de $S_3$.

Lamentablemente, incluso estoy luchando en el primer punto. Empecé a hacer una lista de todos los miembros de $ S_3 = \{e, (12), (13), (23), (123), (132) \} $ y trató de averiguar cuál de las bien conocidas leyes de espera:

Debido a $(12)\circ(13) \neq (13)\circ(12)$ se puede ver que $S_3$ no es un grupo abelian.

$S_3$ es un grupo, por lo que la asociatividad deben tener. Además (lo mismo) tiene que existir un elemento neutro $e$.

¿Alguien tiene una idea de que la ley se entiende y cómo puedo averiguar cuántas leyes mantenga en $S_3$ total?

Muchas gracias!

Answer 1

Dado que las órdenes de los elementos de $S_3$ son 1, 2 o 3, cualquier elemento elevado a la sexta potencia es igual al elemento de identidad. Esto no se cumple en la mayoría de los otros grupos (pero sí en algunos, como el grupo cíclico de 6 elementos).

Answer 2

Además de la ley $$x^6=e\tag1$$ otro ecuacional ley obedecido por $S_3$es $$x^2y^2=y^2x^2\tag2$$ desde el conjunto de plazas en $S_3$ es el Abelian subgrupo $A_3$.

La alternancia de grupo $A_4$ obedece a $(1)$ pero el que no obedece $(2)$desde $$(1\ 2\ 3)^2(1\ 2\ 4)^2\ne(1\ 2\ 4)^2(1\ 2\ 3)^2.$$

Answer 3

El grupo simétrico $S_{3}$ es isomorfo al grupo diedro $D_{6}$ de orden 6 (el grupo de simetrías del triángulo equilátero) y tiene, por tanto, el mismo "ecuacional leyes", tal y como grupo. Por lo tanto, se ha de presentación (aquí, $e$ denota el elemento de identidad, y $a$ e $x$ grupo de generadores):

$\langle x,a \mid a^3 = x^2 = e, xax^{-1} = a^{-1} \rangle$.

Como grupo de generadores, tome $a=(123)$ e $x=(12)$. Tenga en cuenta que $a^3=x^2=e$ (primera ley). Por supuesto, por esta primera de la ley, también se tiene:

$a^6=(a^3)^2=e^2=e$

$x^6=(x^2)^3=e^3=e$

donde hemos utilizado las leyes de los exponentes (ya que estos se aplican a los elementos de cualquier grupo en cualquier grupo de operaciones, que normalmente se escribe en notación multiplicativa, en el caso de $S_{3}$ multiplicación equivale a la composición de las permutaciones). Tenga en cuenta que $a^6=x^6=e$ no es una ley propia de este grupo, porque se deriva de una ley fundamental (la primera ley). La ley de $x^6=e$ (sólo un generador) corresponde al grupo cíclico $C_{6}$, que es isomorfo a, por ejemplo, los enteros modulo 6 en virtud de la adición.

Con las leyes en la presentación de el grupo que es capaz de construir la tabla de Cayley de todo el grupo (generación de todos sus elementos de forma consistente). Como su intuición le dice acertadamente, el grupo no es abelian ya que la ley $xax^{-1} = a^{-1}$ que es equivalente a $xa=a^{-1}x$, dice precisamente esto. Esto no es cumplido por el grupo cíclico de orden 6 con sólo un generador y que es abelian (como todos los grupos cíclicos).

La presentación de el grupo contiene las leyes. Si usted se considera directa de los productos de este grupo, tienen órdenes superiores y todos los trivialmente obedecen a las mismas leyes.

Tenga en cuenta también que cualquier genéricos grupo simétrico $S_{n}$ con $n>3$ no es isomorfo a cualquier diedro grupo (que es siempre el semidirect producto de dos grupos cíclicos) y, por lo tanto, no tiene las mismas leyes. Que $S_{3}$ es isomorfo al grupo diedro $D_{6}=D_{2\cdot 3}$ es una excepción entre los grupos simétricos. De curso $S_{3}$ es siempre un subgrupo de $S_{n}$, pero $S_{n}$ ha adicionales y/o diferentes leyes.

Answer 4

Para la segunda parte, por cualquier $I$, $S_3^I$ satisface la ecuacional leyes que $S_3$ . Para $|I|\geq 2$, $|S_3^I|>|S_3|$.

De manera más general, cualquier imagen homomórfica de un subgrupo de un producto de $S_3$'s satisface la misma ecuacional leyes como $S_3$. Por otra parte la clase de estos grupos se define por un conjunto de ecuaciones por un teorema general (Birkhoff del HSP teorema), este conjunto de ecuaciones contiene las ecuaciones de $S_3$, y se incluye en las ecuaciones de $S_3$. Por lo tanto la clase de los grupos de la satisfacción de las ecuaciones satisfecho por $S_3$ es precisamente la clase de homomórfica imágenes de los subgrupos de productos de $S_3$.