Límite promedio de funciones uniformemente acotadas e integrables de casi por todas partes.

Question

Deje $f_n :[0,1] \to \Bbb{R}$ una secuencia de uniformemente acotado medible funciones con la propiedad: $$\int_0^1f_n(x)f_m(x)dx=0,\forall m \neq n$$

Demostrar que $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nf_n(x) \to 0$ en casi todas partes en $[0,1]$.

Ya he demostrado que:

$(1)$ $\frac{1}{N^2}\sum_{n=1}^{N^2}f_n(x) \to 0$ en casi todas partes.

$(2)$ $\frac{1}{N+N^2}\sum_{n=1}^{N+N^2}f_n(x) \to 0$ en casi todas partes.

$(3)$ $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f_n(x)-\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f_{n+m}(x) \to 0$ en casi todas partes, $\forall m \in \Bbb{N}$

Debido al hecho de que ya tenemos una larga convergentes a $0$ en casi todas partes, he intentado mostrar que $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f_n(x)$ es una secuencia de Cauchy para casi todas las $x$. Pero no conseguí nada.

Alguien puede darme una sugerencia para solucionar esto?

Yo no quiero una solución completa.

Gracias de antemano.

Answer 1

Las condiciones (1) y que el $f_n$'s son uniformemente acotadas son suficientes.

Es decir, que $(a_n)_{n \ge 1}$ ser cualquier secuencia de reales tales que a$|a_n| \le C$ por cada $n$ e $\frac{1}{N^2}\sum_{n \le N^2} a_n \to 0$. A continuación, $\frac{1}{N}\sum_{n \le N} a_n \to 0$. La razón de esto es cierto, es que las plazas ocurren con suficiente frecuencia en los enteros.

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Supongamos $M^2 \le N \le (M+1)^2$. Entonces $$|\frac{a_1+\dots+a_N}{N}| \le |\frac{a_1+\dots+a_N}{M^2}| \le |\frac{a_1+\dots+a_{M^2}}{M^2}|+|\frac{a_{M^2+1}+\dots+a_N}{M^2}|$$ $$ \le |\frac{a_1+\dots+a_{M^2}}{M^2}|+\frac{N-M^2}{M^2}C.$$ Now just let $M \to \infty$, noting that $\frac{N-M^2}{M^2} \le \frac{2M+1}{M^2} \to 0$.