Pruebe que MN-NM es Singular.

Question

Deje M y N sea la matriz cuadrada, que <span class="math-container">$M^2+N^2=MN$</span>.

Luego demostrar que <span class="math-container">$MN-NM$</span> es Singular.

Así que básicamente tengo que probar: det<span class="math-container">$(MN-NM)=0$</span>, he intentado probar esto multiplicando la condición dada por la inversa de Matrices <span class="math-container">$M$</span> y <span class="math-container">$N$</span>, pero no pudo llegar a la respuesta. ¿Alguien podría por favor dar una sugerencia?

Answer 1

Trabajamos en $M_n(\mathbb{C})$.

Ponemos a $M=uX+vY,N=wX+tY$ y vamos a buscar los números complejos $u,v,w,t$ , de modo que $ut-vw\not= 0$ y los coeficientes de $X^2,Y^2$ se $0$.

Se obtiene, por ejemplo, $M=X+Y,N=-jX-j^2Y$, donde $j=\exp(2i\pi/3)$, e $XY=j^2YX$.

Por lo tanto, $MN-NM=(j-j^2)(XY-YX)$ e $\det(MN-NM)=0$ fib $\det(XY-YX)=0$ fib $\det(YX)=0$.

Desde $\det(XY)=j^{2n}\det(YX)$hay $2$ de los casos

i) $n$ no es un múltiplo de a$3$. A continuación, $\det(XY)=0$ y hemos terminado.

ii) $n$ es un múltiplo de a$3$. Entonces, más de $\mathbb{C}$, el resultado es false

Ejemplo de $n=3$: $X=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},Y=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&j\\j^2 &0&0\end{pmatrix}$.