Distancia promedio desde el centro del círculo

Question

Usando cálculo, podemos mostrar que la distancia promedio de un punto en un círculo al centro es $2R/3$, donde $R$ es el radio. Sin embargo, tengo una forma diferente de abordar esta pregunta a través de la intuición que me da una respuesta diferente, y me gustaría saber por qué mi intuición falla.

Para cada $\theta\in [0,2\pi)$, podemos considerar el segmento de línea de ese ángulo desde el centro del círculo hasta el límite. En este segmento de línea, la distancia promedio desde el centro debería ser $R/2$. Entonces la distancia promedio desde el centro sobre todos los puntos en el círculo debería ser simplemente $R/2$, ya que podemos cubrir el círculo con estos segmentos de línea.

¿Por qué este enfoque intuitivo da la respuesta incorrecta? Mi mejor suposición es que todos estos segmentos de línea comparten el origen, por lo que este método cuenta la distancia del origen a sí mismo varias veces, lo que desajusta el promedio disminuyéndolo, lo que concuerda con el hecho de que sabemos que la respuesta real es mayor.

Sin embargo, ¿no podría simplemente mirar la distancia promedio desde el centro para los segmentos de línea abiertos que excluyen el centro? La distancia promedio para estos segmentos de línea abiertos aún debería ser $R/2$, y luego podría aplicar el mismo argumento para cubrir el círculo con los segmentos de línea abiertos. Esta vez, estaría faltando el centro, pero faltar un solo punto no debería desajustar la respuesta. ¿Por qué este argumento no funciona?

Answer 1

Intenta dibujar realmente un círculo y luego dibujar unos veinte o treinta de tus segmentos radiales con sus puntos finales exteriores espaciados uniformemente alrededor de la circunferencia del círculo. Pero no dibujes tantos segmentos que no haya espacio entre ellos.

¿Tu diagrama se ve más oscuro cerca del centro del círculo que cerca de la circunferencia? Debería verse así si dibujaste líneas de color oscuro en una superficie de color claro.

Esta apariencia más oscura refleja la noción de que tu distribución de puntos "aleatorios" es más densa cerca del centro del círculo.

Si dibujas dos círculos congruentes dentro del círculo más grande, cada uno mucho más pequeño que el círculo más grande, colocando uno de los círculos pequeños cerca de la circunferencia del círculo más grande y otro cerca del centro, más de tus líneas radiales pasarán a través del círculo cerca del centro que a través del círculo cerca de la circunferencia. Como resultado, es más probable que tu distribución de probabilidad produzca un punto dentro del círculo pequeño cerca del centro que dentro del círculo pequeño cerca de la circunferencia.

Cuando las personas hablan de una distribución uniforme sobre el área de un círculo, generalmente se refieren a que dos regiones congruentes dentro del círculo tienen la misma probabilidad de ser "alcanzadas". Es decir, en una distribución uniforme sobre el área de un círculo, tendrías la misma probabilidad de elegir un punto en cualquiera de los círculos más pequeños en el párrafo anterior.

Answer 2

Estás viendo dos espacios de probabilidad diferentes. En el primer caso, eliges un punto al azar en el disco, como si lanzaras un dardo a una diana, si asumimos que la probabilidad de caer en cualquier región pequeña es proporcional al área de la región.

En el segundo caso, primero elegimos un radio, por ejemplo, girando el disco y eligiendo el radio vertical en la mitad superior del disco, como en la rueda de la fortuna, y luego elegimos un punto de manera uniforme al azar en ese radio.

Es un poco sorprendente que obtengamos respuestas diferentes, estoy de acuerdo, pero no hay una razón a priori por la que debamos obtener la misma respuesta, ¿verdad?

Answer 3

La respuesta corta es que no puedes cortar un objeto bidimensional en objetos unidimensionales que tengan ancho cero. Podrías intentar cortar tu círculo en segmentos de línea gruesa, pero eso no funcionaría porque todos se amontonarían cerca del centro (y se superpondrían, por lo que estarías contando dos veces).

Imagina que tienes un marcador grueso. Puedes dibujar fácilmente una línea desde el centro hasta el borde. Pero ahora, la segunda línea que intentarás dibujar desde el centro tiene que comenzar un poco más lejos del verdadero centro, de lo contrario se superpondrá. Y después de haber dibujado aproximadamente 4 líneas (en forma de una cruz), la quinta línea será aún más difícil de dibujar cerca del centro. Mi esquema muestra las líneas del marcador grueso, y las estrellas verdes son los centros de las líneas gruesas, y puedes ver que no están todos a la misma distancia.

Si quieres cortar tu círculo en objetos más pequeños, entonces podrías considerar cortarlo en triángulos, y luego calcular la distancia promedio desde el vértice del triángulo. Cuantos más triángulos tengas, menor será el error cerca de la circunferencia donde el borde recto del triángulo subestima el borde curvo.

Answer 4

Si dibujas radios con dirección uniforme, luego dibujas puntos de manera uniforme a lo largo de ellos, no obtendrás una distribución uniforme en el disco, lo que sesga la estimación a favor de radios más cortos.