¿Existe una superficie en la que un hexágono pueda tener todos los ángulos rectos?

Question

Estaba viendo un vídeo en el que el astrónomo y topólogo Cliff Stoll hablaba de cómo las figuras que no son cuadriláteros pueden tener todos sus ángulos iguales a 90 grados en diferentes superficies. Por ejemplo, en una esfera, se puede crear un triángulo que tenga todos sus ángulos iguales $90^\circ$ . En una pseudoesfera, puedes crear un pentágono que tenga todos sus ángulos iguales $90^\circ$ . Ahora, esta es mi pregunta.

¿Existe una superficie en la que sea posible un hexágono con esta propiedad?

Answer 1

Necesitarías una superficie de curvatura negativa.

Para ello, lo mejor es utilizar un plano hiperbólico, en el que puede caber fácilmente cualquier n-gono regular con ángulos dados, siempre que la suma de sus ángulos exteriores sea mayor que 360 grados. El problema es que el plano hiperbólico no cabe en el espacio euclidiano.

La pseudoesfera es un pequeño fragmento del plano hiperbólico. Puedes dibujar un hexágono rectángulo en la pseudoesfera sólo si permites que se envuelva sobre sí misma. (Edición: en realidad no estoy completamente seguro de esto; ver aquí , se obtiene una pseudoesfera cortando la parte cubierta por los puntos blancos; parece que un hexágono es ligeramente mayor que el área cubierta por la pseudoesfera, pero no estoy seguro. Debería ser posible probarlo).

También se puede dibujar en una superficie de Dini -- que es básicamente una pseudoesfera desenrollada en la que se tienen varias capas, y así se evita el problema de la intersección. Pero sería difícil ver algo porque está muy enrollada. Véase aquí .

Menos suave, pero probablemente la mejor manera sería utilizar algo similar a un ganchillo hiperbólico. Vea nuestro simulación por ordenador (teclas de flecha para girar).

Answer 2

Me temo que las restricciones de la pregunta, tal y como están planteadas, pueden ser menores de lo que se pretende, porque no es difícil ajustar una superficie a la mayoría de las líneas cerradas en ángulo recto de 6 segmentos en el espacio de forma que todos los ángulos queden en esa superficie.

Teniendo en cuenta que el PO ni siquiera ha dicho que todos los ángulos rectos deben girar hacia el mismo lado, hay una solución aún más sencilla: un cilindro. Basta con dibujar un zigzag de 6 segmentos con ángulos rectos a través de un papel y doblar el papel en un cilindro para cerrar la línea.

Si el hecho de que el cilindro tenga un agujero es un problema, podemos cerrarlo con una semiesfera -no incluida en las fotos porque no tenía a mano una bola de un tamaño adecuado-.

Suma de una solución con todos los ángulos hacia el mismo lado (sin zigzag):

Le ruego que me disculpe por mis escasas habilidades de dibujo.

Por favor, toma dos caras contiguas de un cubo, haz un circuito utilizando todas las aristas excepto la común, y coloca un pequeño cuadrado en cada uno de los seis vértices, en el plano del circuito.

Ahora pon una banda a lo largo de cada borde el circuito, uniendo los cuadrados. Ponlo de forma que todos los giros en los vértices se mantengan en el mismo lado. En la siguiente imagen he añadido vectores normales a los cuadrados, giros y vueltas para clarificar:

Y como no hay giros completos, se puede cerrar el agujero de la banda para formar un disco:

Answer 3

Coge un cubo y oriéntalo de forma que estés mirando hacia una diagonal del cuerpo. Las aristas que parecen estar en el límite de esta vista forman en realidad un objeto no plano con seis aristas congruentes, ángulos rectos donde se encuentran dos aristas adyacentes y $D_{3d}$ simetría de grupo de puntos.