Cómo mostrar que $p(1)\ \text{is real} \iff \ p(-1)\ \text{is real}$

Question

He estado trabajando en este problema y no puedo averiguar! Pasé horas de tiempo en él sin uso. ¿Puede alguien ayudar? La pregunta es:

Supongo que <span class="math-container">$p(x)$</span> es un polinomio con coeficientes complejos y hasta grado (<span class="math-container">$n=2k$</span>). Todos los ceros de <span class="math-container">$p$</span> están no real y con longitud igualan a <span class="math-container">$1$</span>. prueba <span class="math-container">$$p(1)\in\mathbb{R} \;\;\Longleftrightarrow\;\; p(-1)\in\mathbb{R} $ $</span>

Answer 1

Tenga en cuenta que (asumiendo $p(-1)\ne 0$ a comenzar con $$ \frac{p(1)}{p(-1)}=\prod_{j=1}^{2k}\frac{1-w_j}{-1-w_j}$$ donde la $w_j$ de ejecución sobre las raíces complejas (con multiplicidad). Para un solo factor, $$\frac{1-w}{-1-w}=-\frac{(1-w)(1+\bar w)}{|1+w|^2}=\frac{|w|^2-1+(w-\bar w)}{|1+w|^2}. $$ Como se nos da ese $|w|=1$ de todas las raíces, este es el puramente imaginarias número $\frac{2\operatorname{im} w}{|1+w|^2}i$. El producto de un número par de imaginarios es real.

Answer 2

Tenemos

<span class="math-container">$$p(z)=\prod_{r=1}^{2k}\left(z-e^{i\theta_r}\right))$$</span>

entonces suponiendo que <span class="math-container">$p(1)\neq 0$</span>

<span class="math-container">$$p(1)=\prod_{r=1}^{2k}(1-e^{i\thetar})=\prod{r=1}^{2k}(1-e^{-i\thetar})=\prod{r=1}^{2k}\frac{1-e^{i\theta_r}}{e^{i\thetar}} \iff \prod{r=1}^{2k}\frac{1}{e^{i\theta_r}}=1$$</span>

<span class="math-container">$$p(-1)=\prod_{r=1}^{2k}(-1-e^{i\thetar})=\prod{r=1}^{2k}(-1-e^{-i\thetar}) \iff \prod{r=1}^{2k}\frac{1}{e^{i\theta_r}}=1$$</span>