¿Estas definiciones tienen sentido?

Question

Dejando $G$ ser un grupo y $S(G)$ ser todas las permutaciones de $G$, definir

$$L(G)=\{\phi\in S(G)|\forall n\in \mathbb Z , \phi(g^n)=\phi(g)^n\ \ \forall g\in G \}.$$

Es fácil comprobar que $L(G)$ es un grupo. Mi intuición para definir $L(G)$ es definir "local isomorphisms" de un grupo, envía cíclico de los grupos a su correspondonce. Tenemos $L(G)\geq Aut(G)$, y si $G$ es cíclico, a continuación,$L(G)=Aut(G)$.

Con similar intuición, podemos definir

$$A(G)=\{\phi\in S(G)|\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)\ \ if \ xy=yx \}$$

y pueden ver que $L(G)\geq A(G)\geq Aut(G)$, y si $G$ es abelian, a continuación,$A(G)=Aut(G)$.

El grupo $Aut(G)$ puede dar un montón de información acerca de $G$. Es que también es cierto acerca de $L(G)$ o $A(G)$?

Cualquier observación adicional se agradece.

Answer 1

No puedo decir si este concepto es útil o no. Puede ser una cosa de la diversión a jugar primaria de juegos, a pesar de.

Considere el caso donde $G$ $p$- grupo de exponente $p$. Por ejemplo, una escuela primaria $p$-abelian grupo o de un forma especial de grupo. En esos casos se puede particionar la no identidad de los elementos de $G$ a $N=(|G|-1)/(p-1)$ subconjuntos $G(i)$ tal que $G(i)$ se compone de la $p-1$ la no-identidad de los poderes de un elemento $x_i, i=1,\ldots,N.$ Los conjuntos de $G(i)$ son las clases de equivalencia de la relación en $G\setminus\{1\}$: $x\sim y$ iff $x=y^a$ para algunos entero $a$ coprime a $p$, e $D=\{x_i\mid i=1,2,\ldots,n\}$ es un conjunto de representantes.

En este caso vemos que un elemento $\phi\in L(G)$ está totalmente determinado por las imágenes de la $\phi(x_i)$. Además, la regla $$ \phi(x_i)=x_{\sigma(i)}^{a_i} $$ especifica un vector de $\vec{a}:=(a_1,a_2,\ldots,a_N)\in (\Bbb{Z}_p^*)^N$ y una permutación $\sigma\in Sym(D)$ -, en tanto se determina únicamente por $\phi$. Por el contrario cualquier vector $\vec{a}$ y una permutación $\sigma$ dar lugar a un elemento de $L(G)$.

Vamos a denotar por encima de la asignación de $\phi$$\phi(\vec{a},\sigma)$. Para una composición de dos de esas asignaciones tenemos $$ \phi(\vec{a},\sigma)\circ\phi(\vec{b},\tau):x_i\mapsto x_{\tau(i)}^{b_i}\mapsto x_{\sigma\tau(i)}^{b_i a_{\tau(i)}}. $$ En otras palabras $$ \phi(\vec{a},\sigma)\circ\phi(\vec{b},\tau)=\phi(\vec{a}^\tau*\vec{b},\sigma\tau). $$ Esto muestra que el grupo de $L(G)$ es isomorfo a la corona de producto $$ L(G)\cong \Bbb{Z}_p^*\wr S_N. $$

Este grupo es mucho más grande de lo $Aut(G)$. Por ejemplo, cuando se $G=\Bbb{F}_p^n$ primaria $p$-grupo Abelian, a continuación,$Aut(G)=GL_n(\Bbb{F}_p)$.

---

Cuando todos los elementos de identidad de $G$ son de primer orden una estructura similar a la que está ahí para que conseguimos uno de los factores para cada uno de los prime. Cuando hay elementos de orden compuesto, entonces empieza la diversión, para que nos quede restricciones de (posiblemente compartida) que los poderes de los elementos de un orden dado.