Distribución Binomial

Question

Cual es el valor de

$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum_ {x = 0} ^ {x = n / 2} \ varepsilon ^ {2x} (1- \ varepsilon) ^ {n-2x} \ frac {n!} {(2x)! (N- (2x))!} $$

¿Es decir, el límite de la distribución binomial sumada sobre todos los valores pares de también un$n$ ($0, 2, 4,\ldots$)? Supongo que debería dar$1/2$. ¿Alguien puede decirme si es verdad?

Answer 1

Primero, tomando la parte par de$(1+x)^n$ usando el teorema binomial: $$ \begin{align} \sum_k\binom{n}{2k}x^{2k} &=\frac12\left[\sum_k\binom{n}{k}x^k+\sum_k\binom{n}{k}(-x)^k\right]\\[6pt] &=\frac12\left[(1+x)^n+(1-x)^n\right] \end {align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{k=0}^n\binom{n}{2k}\varepsilon^{2k}(1-\varepsilon)^{n-2k} &=(1-\varepsilon)^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{2k}\left(\frac\varepsilon{1-\varepsilon}\right)^{2k}\\ &=\frac12(1-\varepsilon)^n\left[\left(1+\frac\varepsilon{1-\varepsilon}\right)^n+\left(1-\frac\varepsilon{1-\varepsilon}\right)^n\right]\\[3pt] &=\frac12\left[1+(1-2\varepsilon)^n\right] \end {align} $$ Entonces, para$0\lt\varepsilon\lt1$, obtenemos el límite de$\frac12$. Tenga en cuenta que esto excluye$\varepsilon=0$ y$\varepsilon=1$.