Esto requiere sólo la inversa de la de Cayley de transformación. Empezar con
$$
(U-I)=(A-iI)(A+iI)^{-1}-(A+iI)(A+iI)^{-1}=-2i(A+iI)^{-1}.
$$
De ello se desprende que $\mathcal{N}(U-I)=\{0\}$$\mathcal{R}(U-I)=\mathcal{D}(A)$. Del mismo modo,
$$
(U+I) = 2A(A+iI)^{-1} = iA(U-I).
$$
Deje $U=\int_{T}\lambda dF(\lambda)$, y, para cada una de las $0 < \delta < \pi$, definir $G_{\delta}$ a ser la característica de la función de la arc $\{ e^{i\theta} : \theta \in [\delta,2\pi-\delta]\}$. Entonces
$$
P_{\delta} = \int G_{\delta}(\lambda)dF(\lambda)
$$
es una proyección con $P_{\delta}x \in \mathcal{D}(A)$ porque
$$
Q_{\delta}=\int_{T} G_{\delta}\frac{1}{\lambda-1}dF(\lambda)
$$
está delimitado y $(U-I)Q_{\delta}=P_{\delta}$ implica que el rango de $P_{\delta}$$\mathcal{R}(U-I)=\mathcal{D}(A)$. Además,
$$
iAP_{\delta} = iA(U-I)Q_{\delta}=(U+I)Q_{\delta}=\int_{T}G_{\delta}(\lambda)\frac{\lambda+1}{\lambda-1}dF(\lambda) \\
AP_{\delta} = \int_{T}i\frac{1+\lambda}{1-\lambda}G_{\delta}(\lambda)dF(\lambda).
$$
Debido a $x \in \mathcal{D}(A)$ fib $x = (U-I)y$ algunos $y$, entonces, para todos los $x \in \mathcal{D}(A)$, uno tiene
$$
\begin{align}
P_{\delta}Ax & = P_{\delta}A(U-I)y \\
& =-iP_{\delta}(U+I)y\\
& =-i(U+I)P_{\delta}y \\
& = A(U-I)P_{\delta}y \\
& = AP_{\delta}(U-I)y = AP_{\delta}x
\end{align}
$$
Si $x \in \mathcal{D}(A)$, luego
$$
Ax = \lim_{\delta\downarrow 0}P_{\delta}Ax=\lim_{\delta\downarrow 0}AP_{\delta}x
= \lim_{\delta\downarrow 0}\int i\frac{1+\lambda}{1-\lambda}G_{\delta}(\lambda)dF(\lambda)x.
$$
Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, si $x\in\mathcal{D}(A)$, luego
$$
\begin{align}
\|Ax\|^{2} & =\lim_{\delta\downarrow 0}\|AP_{\delta}x\|^{2} \\
& = \lim_{\delta\downarrow 0}\int \left|\frac{1+\lambda}{1-\lambda}\right|^{2}|G_{\delta}(\lambda)|^{2}d\|F(\lambda)x\|^{2} \\
& = \int \left|\frac{1+\lambda}{1-\lambda}\right|^{2}d\|F(\lambda)x\|^{2} < \infty.
\end{align}
$$
Por el contrario, si el último integral de la derecha es finito para algunos $x$, entonces el siguiente límite existe en $X$:
$$
y = \lim_{\delta\downarrow 0}\int i\frac{1+\lambda}{1-\lambda}G_{\delta}(\lambda)dF(\lambda)x = \lim_{\delta\downarrow 0}AP_{\delta}x.
$$
Luego, debido a que $\lim_{\delta}P_{\delta}x=x$ existe, y debido a $A$ es cerrado, se sigue que $x\in\mathcal{D}(A)$$Ax=y$. Finalmente, se llega a la conclusión de que
$$
x \in \mathcal{D}(A) \ffi \int \left|\frac{1+\lambda}{1-\lambda}\right|^{2}d\|F(\lambda)x\|^{2} < \infty.
$$
Y, en ese caso,
$$
Ax = \lim_{\delta\downarrow 0}\int i \frac{1+\lambda}{1-\lambda}G_{\delta}(\lambda)dF(\lambda)x.
$$
Cambio de variables: El paso final es un cambio de variables. Definir un nuevo espectral de medida $E$$\mathbb{R}$$E(S)=F(\{ \frac{t-i}{t+i} : t\in S\})$. De ello se desprende que $\frac{t-i}{t+i}=\lambda$ da $t=i\frac{1+\lambda}{1-\lambda}$. Así,
$$
x \in \mathcal{D}(A) \ffi \int_{-\infty}^{\infty}t^{2}d\|E(t)x\|^{2} < \infty,
$$
y, para que ese $x$, el siguiente existe como una integral impropia:
$$
Ax = \int_{-\infty}^{\infty}tdE(t)x,\;\; x \in \mathcal{D}(A).
$$
