Estrictamente creciente función $f'(x) = f(f(x))$

Question

¿Hay una función estrictamente creciente $f : \Bbb{R}\to\Bbb{R}$ tal que $f'(x) = f(f(x))$ % todo $x$?

Creo que la respuesta es no y mi argumento es del tipo: si hubiera, $f'(x) = f(f(x))$ implicaría que $f$ es lineal en un intervalo $J$ y por lo tanto tiene la forma $f(x)=\alpha x$ % real $\alpha>0$. Pero entonces $f(x)=f'(x)=\alpha$ $x\in J$. Contradicción porque $f$ está aumentando terminantemente.

Creo que mi solución es demasiado simple para ser verdad. ¿Qué ocurre con él?

Answer 1

Mi prueba rápida para mostrar allí es no hay tal función sobreyectiva :

Supongamos que $f'(x)=f(f(x))$ y $f$ está aumentando terminantemente y sobreyectiva. Desde $f$ está aumentando terminantemente es inversible y la asunción de suprayectividad implica se define todos los $f^{-1}$ $\mathbb R$.

Entonces $0<f contradicci="" r="" todo="" una=""></f>