Anillos en múltiples variables

Question

¿Podría alguien explicarme cómo interpretar los anillos escritos en múltiples variables? Por ejemplo, se me pide que muestre que $R[[x]][y]$ es un subconjunto adecuado de $R[y][[x]]$ pero pensé que estos dos eran iguales. Sé que $R[[x]]$ es el anillo de las series de poder formal, y sé que $R[x]$ es el anillo de polinomios, así que asumí que $R[[x]][y]$ era el anillo de poderes formales en la X y polinomios en la Y... pero no parece ser el caso. Entonces, ¿cuál sería la diferencia entre $R[[x]][y]$ y $R[y][[x]]$ y ¿por qué importa el orden de estos? ¿Esto se generaliza con más de dos variables, digamos $R[[x]][y][[z]]$ ?

¡Gracias!

Answer 1

$R[[x]][y]$ es $S[y]$ donde $S = R[[x]]$ . Es decir, es el anillo de polinomios en $y$ con coeficientes en series de potencia formales en $x$ . Un elemento típico de este anillo parece

$$ \sum_ {i=0}^n \sum_ {j=0}^{ \infty } (a_{ij} x^j) y^i.$$

Por otro lado, $R[y][[x]] = T[[x]]$ donde $T = R[y]$ . Es decir, es el anillo de la serie de poder formal en $x$ con coeficientes en polinomios en $y$ . Un elemento típico de este anillo parece

$$ \sum_ {i=0}^{ \infty } \sum_ {j=0}^{n_i} (b_{ij} y^j) x^i.$$

Como subgrupos del anillo de series de poder formal en ambos $x$ y $y$ ¿puedes escribir un elemento de la segunda que no esté contenido en la primera? (Pista: intente agrupar los términos en la primera expresión para que se parezca a la segunda y vea qué es lo que falla).