Número de factores 1 de cruce en$K_{2n}$

Question

Dado un conjunto de vértices$\{1,\ldots,n\}$, dos bordes$\{i,j\}$ y$\{k,\ell\}$ se cruzan iff$i\lt k\lt j \lt \ell$.

Estoy interesado en el número de factores 1 en el gráfico completo sobre los vértices$2n$, de manera que cada borde del factor 1 cruza algún otro borde del factor 1.

¿Alguien tiene alguna idea acerca de esto?

Edición: Esto está estrechamente relacionado con la enumeración de gráficos circulares.

Gracias

Answer 1

OEIS sabe acerca de su secuencia, lo que llama Cruce de matchings: lineales, diagramas de acordes con $2n$ nodos y $n$ arcos en el que cada arco se cruza con otra de arco.

Algunos aspectos destacados:

Se inicia la secuencia $$ \begin{multline*} 1, 0, 1, 4, 31, 288, 3272, 43580, 666143, 11491696, \\ 220875237, 4681264432, 108475235444, 2728591657920, 74051386322580, \\ 2156865088819692, 67113404608820943, \\ 2221948578439255200, 77990056655776149179, \ldots \end{multline*} $$

La generación de la función $F$ es la solución de $$ F' = \frac{-x^2F^3 + F - 1}{2x^3F^2 + 2x^2F}. $$

Hay una referencia: M. Klazar, No P-recursividad de los números de matchings lineal o diagramas de acordes, con muchos cruces, Adv. en Appl. Math., 30 (2003), 126-136.

Hay un enlace: Alexander Stoimenow, En la enumeración de los diagramas de acordes y asymptotics de los invariantes de Vassiliev, Capítulo 3.

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Si usted se está preguntando ¿cómo puedo encontrar el link: yo sólo calcula los primeros 4 números y pidió OEIS. Yo también podría haber adivinado el nombre, a pesar de estar más que seguro que usted necesita para calcular algunos de los números de todos modos.