Problema en Rick Miranda: encontrar el género de una curva proyectiva

Question

Acabo de empezar aprendiendo superficies de Riemann y estoy usando el libro de Rick Miranda: curvas algebraicas y superficies de Riemann. Pregunta a #F en la sección 1.3 determinar el género de la curva de $\mathbb{P}^3$ definido por el % de dos ecuaciones $x_0x_3=2x_1x_2$y $x_0^2 + x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 = 0$. #G tiene también una pregunta similar en el que pide determinar el género del cúbico torcido. Por favor explicar cómo abordar este tipo de pregunta.

Answer 1

Aquí un mapa de la curva de $X$ $\mathbb{P}^3$ definido por $x_1 x_4 = 2 x_2 x_3$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 = 0$, a la curva elíptica $E$ $\mathbb{P}^2$ dado por la ecuación de Weierstrass $$Y^2 Z = X^3 - \frac{17822265625}{62208} X Z^2 + \frac{2269744873046875}{40310784} Z^3, , que es topológicamente un toro:

$$[x_1:x_2:x_3:x_4 ] \mapsto [y_1:y_2:y_3] \mapsto [a:b:c] \mapsto [X:Y:Z]$$ con $$\begin{align*} y_1 &= x_2 x_3^2 - \frac{i}{2}x_2 x_3 x_4 - \frac{i}{2}x_3^2x_4 - \frac{1}{4} x_3 x_4^2 - \frac{i}{4} x_4^3 \\ y_2 &= x_2 x_3 x_4 - \frac{i}{2} x_2 x_4^2 \\ y_3 &= x_3 x_4^2 - i x_4^3 \end{align*},$$ (tenga en cuenta que $y_2$ tiene una simple poste de $[1:i:0:0]$, $y_1$ tiene un simple poste de $[1:0:i:1]$ $y_3$ tiene una simple poste de $[0:0:i:1]$), $$\begin{align*} a &= \frac{625}{36} i y_1 - \frac{625}{72} i y_2 \\ b &= \frac{-390625}{1296} i y_1 \\ c &= \frac{-4}{5} i y_1 - \frac{8}{5} i y_2 - i y_3 \end{align*},$$ y $$[a:b:1] \mapsto \left [\frac{1}{36} - \frac{71875}{15552} : \frac{1}{216}b - \frac{125}{288} + \frac{13671875}{124416} : 1 \right ].$$

Los anteriores mapas, a continuación, darle una explícita homeomorphism de su curva de $X$ a de la curva elíptica $E$ que es topológicamente un toro (éstos, de hecho, la forma algebraica de isomorfismo entre las dos curvas).

(Este fue obtenido a partir de la incrustación $X$ $\mathbb{P}^2$ a través del divisor de $([1:i:0:0]) + ([1:0:i:0]) + ([0:0:i:1])$, que es muy amplio y, a continuación, cachondeo para conseguir un buen ecuación de Weierstrass para el resultado de curva elíptica.)

Answer 2

No estoy seguro si la prueba a continuación es totalmente correcto, como he leído este libro hace dos año. Escribir esto en coordenadas locales, $(\frac{x_{1}}{x_{3}}, \frac{x_{2}}{x_{3}})=(y_{1},y_{2})$ usted debe obtener una curva como $$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}+1=0$$ defined on the affine chart $(x_{1},x_{2},x_{3}), x_{3}\no=0$.

Localmente esta superficie es singular si y sólo si $\frac{\partial}{\partial y_{1}}$ $\frac{\partial}{\partial y_{2}}$ son 0. Por lo tanto, todos los puntos de singularidad se $( \frac{1}{2}i, \frac{1}{2}i),(-\frac{1}{2}i, -\frac{1}{2}i)$ . Además, ambos de ellos son de multiplicidad 1. Por lo tanto, por la fórmula $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum_{p}\delta_{p}$ debemos tener $g=3*2/2-2=1$. (pero no estoy familiarizado con Desplumadora de la fórmula de mí, así yo podría estar equivocado).

Otra manera de mirar esto es definir $\displaystyle(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2})^{1/4}=y_{3}$. Entonces estamos trabajando fundamentalmente con un ramificada mapa de $y_{3}^{4}-1=0$. De Riemann-Hurwtiz debemos tener g=1 $2-2g=4*(2-0)-4*2$.