Acabo de empezar aprendiendo superficies de Riemann y estoy usando el libro de Rick Miranda: curvas algebraicas y superficies de Riemann. Pregunta a #F en la sección 1.3 determinar el género de la curva de $\mathbb{P}^3$ definido por el % de dos ecuaciones $x_0x_3=2x_1x_2$y $x_0^2 + x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 = 0$. #G tiene también una pregunta similar en el que pide determinar el género del cúbico torcido. Por favor explicar cómo abordar este tipo de pregunta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Aquí un mapa de la curva de $X$ $\mathbb{P}^3$ definido por $x_1 x_4 = 2 x_2 x_3$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 = 0$, a la curva elíptica $E$ $ \mathbb{P}^2$ dado por la ecuación de Weierstrass $$Y^2 Z = X^3 - \frac{17822265625}{62208} X Z^2 + \frac{2269744873046875}{40310784} Z^3,$ $ , que es topológicamente un toro:
$$ [x_1:x_2:x_3:x_4 ] \mapsto [y_1:y_2:y_3] \mapsto [a:b:c] \mapsto [X:Y:Z]$$ con $$ \begin{align*} y_1 &= x_2 x_3^2 - \frac{i}{2}x_2 x_3 x_4 - \frac{i}{2}x_3^2x_4 - \frac{1}{4} x_3 x_4^2 - \frac{i}{4} x_4^3 \\ y_2 &= x_2 x_3 x_4 - \frac{i}{2} x_2 x_4^2 \\ y_3 &= x_3 x_4^2 - i x_4^3 \end{align*},$$ (tenga en cuenta que $y_2$ tiene una simple poste de $[1:i:0:0]$, $y_1$ tiene un simple poste de $[1:0:i:1]$ $y_3$ tiene una simple poste de $[0:0:i:1]$), $$ \begin{align*} a &= \frac{625}{36} i y_1 - \frac{625}{72} i y_2 \\ b &= \frac{-390625}{1296} i y_1 \\ c &= \frac{-4}{5} i y_1 - \frac{8}{5} i y_2 - i y_3 \end{align*},$$ y $$ [a:b:1] \mapsto \left [\frac{1}{36} - \frac{71875}{15552} : \frac{1}{216}b - \frac{125}{288} + \frac{13671875}{124416} : 1 \right ].$$
Los anteriores mapas, a continuación, darle una explícita homeomorphism de su curva de $X$ a de la curva elíptica $E$ que es topológicamente un toro (éstos, de hecho, la forma algebraica de isomorfismo entre las dos curvas).
(Este fue obtenido a partir de la incrustación $X$ $\mathbb{P}^2$ a través del divisor de $([1:i:0:0]) + ([1:0:i:0]) + ([0:0:i:1])$, que es muy amplio y, a continuación, cachondeo para conseguir un buen ecuación de Weierstrass para el resultado de curva elíptica.)
No estoy seguro si la prueba a continuación es totalmente correcto, como he leído este libro hace dos año. Escribir esto en coordenadas locales, $(\frac{x_{1}}{x_{3}}, \frac{x_{2}}{x_{3}})=(y_{1},y_{2})$ usted debe obtener una curva como $$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}+1=0$$ defined on the affine chart $(x_{1},x_{2},x_{3}), x_{3}\no=0$.
Localmente esta superficie es singular si y sólo si $\frac{\partial}{\partial y_{1}}$ $\frac{\partial}{\partial y_{2}}$ son 0. Por lo tanto, todos los puntos de singularidad se $( \frac{1}{2}i, \frac{1}{2}i),(-\frac{1}{2}i, -\frac{1}{2}i)$ . Además, ambos de ellos son de multiplicidad 1. Por lo tanto, por la fórmula $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum_{p}\delta_{p}$ debemos tener $g=3*2/2-2=1$. (pero no estoy familiarizado con Desplumadora de la fórmula de mí, así yo podría estar equivocado).
Otra manera de mirar esto es definir $\displaystyle(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2})^{1/4}=y_{3}$. Entonces estamos trabajando fundamentalmente con un ramificada mapa de $y_{3}^{4}-1=0$. De Riemann-Hurwtiz debemos tener g=1 $2-2g=4*(2-0)-4*2$.