Problema de cumpleaños en la probabilidad

Question

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de$n$ de personas, cada mes del año tenga al menos un cumpleaños?

Este es mi enfoque:

Tenemos 12 meses y la probabilidad de que un mes tenga al menos un cumpleaños =$1-(11/12)^n$.

Y para encontrar la probabilidad de que cada mes tenga al menos un cumpleaños, estoy tratando de usar la fórmula de exclusión de inclusión. Pero no puedo proceder por la probabilidad de que haya al menos un cumpleaños por cada uno de 2 meses. ¿Mi enfoque es correcto?

Answer 1

La probabilidad de que $n$ que la gente se pierda $k$ meses $N_n(k)=\binom{12}{k}\left(\frac{12-k}{12}\right)^n$. Por lo tanto, por la Inclusión-Exclusión, la probabilidad de perder en menos de un mes es $$ \sum_{k=1}^{12}(-1)^{k-1}\binom{12}{k}\left(\frac{12-k}{12}\right)^n\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, la probabilidad de obtener todos los meses es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{k=0}^{12}(-1)^k\binom{12}{k}\left(\frac{12-k}{12}\right)^n}\etiqueta{2} $$

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Podemos simplificar $(2)$ el uso de los Números de Stirling del Segundo Tipo $$\newcommand{\stirtwo}[2]{\left\{{#1}\cima{#2}\right\}} \begin{align} \sum_{k=0}^{12}(-1)^k\binom{12}{k}\left(\frac{12-k}{12}\right)^n &=\frac1{12^n}\sum_{k=0}^{12}(-1)^k\binom{12}{k}\,k^n\tag{3}\\ &=\frac1{12^n}\sum_{k=0}^{12}(-1)^k\binom{12}{k}\sum_{j=0}^n\binom{k}{j}\stirtwo{n}{j}j!\tag{4}\\ &=\frac1{12^n}\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^{12}(-1)^k\binom{12}{j}\binom{12-j}{k-j}\stirtwo{n}{j}j!\tag{5}\\ &=\frac1{12^n}\sum_{j=0}^n[j=12]\binom{12}{j}\stirtwo{n}{j}j!\tag{6}\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{12!}{12^n}\stirtwo{n}{12}}\tag{7} \end{align} $$ Explicación:
$(3)$: sustituto $k\mapsto12-k$
$(4)$: $k^n=\sum\limits_{j=0}^n\binom{k}{j}\stirtwo{n}{j}j!$
$(5)$: $\binom{12}{k}\binom{k}{j}=\binom{12}{j}\binom{12-j}{k-j}$
$(6)$: $\sum\limits_{k=0}^{12}(-1)^k\binom{12-j}{k-j}=[j=12]$ el uso de Soportes de Iverson
$(7)$: evaluar la suma (set $j=12$)