Demostración del teorema de Dedekind sobre los grupos de Galois de polinomios racionales

Question

El teorema de Dedekind afirma que si un polinomio en $\mathbb Z[x]$ se factoriza en irreducibles módulo un primo que no divide el discriminante, entonces el grupo de Galois del polinomio, considerado como un subgrupo de $S_n$ contiene una permutación cuyo tipo de ciclo se corresponde con los grados de los factores irreducibles.

He buscado un poco una prueba de esto pero no he encontrado ninguna. ¿Puede alguien indicarme una prueba?

Answer 1

En la página 15 de estas notas (véase el corolario 2.7).

Editar: He decidido ampliar lo que se incluye en las notas enlazadas más arriba. Como se indica allí, este resultado se deriva esencialmente de la subjetividad del mapa natural $$ D_{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}} = \{\sigma \in \text{Gal}(L/K) : \sigma(\mathfrak{P}) = \mathfrak{P}\} \to \text{Gal}((\mathcal{O}_L/\mathfrak{P})/(\mathcal{O}_K/\mathfrak{p})) $$ para $L/K$ extensión de Galois finita de campos numéricos, $\mathfrak{p}$ un primo de $K$ y $\mathfrak{P}$ un primo de $L$ por encima de $\mathfrak{p}$ .

Para aplicar esto aquí, se supone que $L$ es el campo de división sobre $K$ de un irreducible mónico $f \in \mathcal{O}_K[X]$ y $\mathfrak{p}$ es un primo de $K$ modulo que $f(X)$ factores en un producto de polinomios irreducibles distintos. (Así que, en particular, se puede tomar $K = \mathbb{Z}$ y un primer $p$ de la forma deseada). Para tal primo $\mathfrak{p}$ , elija cualquier primo $\mathfrak{P}$ de $L$ en $\mathfrak{p}$ y que $S = \{\alpha \in L : f(\alpha) = 0\}$ (un conjunto de $n = \deg(f)$ elementos distintos de $L$ ). Entonces $D_{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}}$ actúa sobre $S$ y esta acción nos da un homomorfismo $D_{\mathfrak{P}|\mathfrak{p}} \to H \leq S_n$ . Por el resultado citado anteriormente, este $H \cong \text{Gal}((\mathcal{O}_L/\mathfrak{P})/(\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}))$ y (como el grupo de Galois de una extensión finita de campos finitos) el RHS es un grupo cíclico, digamos generado por algún $\sigma$ . Más explícitamente, si $f \pmod{\mathfrak p} = f_1 \cdots f_r$ para (por hipótesis) distintas mónicas $f_i$ en $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ entonces $\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$ es el campo de división de $f \pmod{\mathfrak{p}}$ en $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ se deduce de las generalidades sobre las extensiones de Galois que (bajo supuestos apropiados/obvios respecto al mapa en $S_n$ ) $\sigma$ corresponde a la permutación $(1,\ldots,d_1)(d_1+1,\ldots,d_2)\cdots(d_{r-1}+1,\ldots,d_r)$ donde $d_i = \deg(f_i)$ para $1 \leq i \leq r$ . Pullback $\sigma$ a un elemento $\text{Gal}(L/K)$ a lo largo de los homomorfismos suryentes $\text{Gal}(L/K) \to D_{\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}} \to H$ para llegar a la conclusión deseada.