Resolviendo un límite con una fracción indeterminada y raíz cuadrada de X

Question

Tengo una prueba mañana y hay una cosa que encontré que no entiendo mientras estoy revisando. He buscado por todas partes en YouTube y Google y simplemente no puedo averiguar cómo resolver este problema:

$$ \lim_{x\to16} \frac{x-16}{4-\sqrt{x}} $$

Es obvio que es indeterminado pero no puedo llegar más lejos que eso.

Answer 1

Queremos encontrar $$\lim_{x\to 16}\frac{x-16}{4-\sqrt{x}}.$$

Multiplicamos "arriba" y "abajo" por $4+\sqrt{x}$. Es perfectamente legítimo, estamos multiplicando nuestra expresión por $1$. Dado que $(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})=16-x$, $$\lim_{x\to 16}\frac{x-16}{4-\sqrt{x}}=\lim_{x\to 16}\frac{(x-16)(4+\sqrt{x})}{(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})}=\lim_{x\to 16}\frac{(x-16)(4+\sqrt{x})}{16-x}.$$

Cuando $x \ne 16$, nuestra expresión se simplifica a $-(4+\sqrt{x})$. Esto se debe a que $x-16=(-1)(16-x)$. Así que nuestro límite es igual a $$\lim_{x\to 16} -(4+\sqrt{x}).$$

Es claro que este último límite es $-8$. Si queremos mencionar detalles finos, $\displaystyle\lim_{x\to 16}\sqrt{x}=4$ porque $\sqrt{x}$ es continua en $x=16$.

Observación: Aquí hay una forma alternativa de hacer lo mismo. Notamos que para $x$ no negativo, $x-16=(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)$.

Por lo tanto, estamos interesados en $$\lim_{x\to 16}\frac{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}{4-\sqrt{x}}.$$ El resto es sencillo.

Answer 2

$$ \frac{{x - 16}}{{4 - \sqrt x }} = \frac{{(x - 16)(4 + \sqrt x )}}{{(4 - \sqrt x )(4 + \sqrt x )}} = \frac{{(x - 16)(4 + \sqrt x )}}{{16 - x}} = - (4 + \sqrt x ) \to - 8 $$ as $x \to 16$.