Que $G$ ser cualquier grupo y $\widehat{G}$ su terminación profinito. ¿Es cierto que $\widehat{\widehat{G}}=\widehat{G}$, es decir, es cierto que $\widehat{G}$ es (canónicamente isomorfa a) su propia terminación profinito? Parece que deben seguir desde la propiedad universal de la terminación profinito, pero no veo cómo.
Gracias de antemano por cualquier soluciones o sugerencias.
Creo que hay contraejemplos sobre la iterada profinite terminaciones de los grupos, tales como la abosulte grupo de Galois $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, que como profinite grupo no es igual a su propio profinite finalización (porque tiene subgrupos de índice finito que no se abra). Un profundo teorema de Segal y Nikolov de $2007$ (usando la clasificación de los finitos simples grupos) implica que si $\widehat{G}$ es topológicamente finitos tipo, a continuación, $\widehat{G}$ $\widehat{\widehat{G}}$ son isomorfos.
Edit: Contraejemplos a $\widehat{\widehat{G}}\simeq \widehat{G}$ se puede encontrar aquí (en la sección 5, en la primera línea) arxiv.org/pdf/0801.2955.
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