Es irracional

Question

Por un lado, $i(=\sqrt{-1})$ no puede ser expresado como una proporción de números enteros, por lo que, por definición, $i$ es no racional $\iff i$ es irracional.

Sin embargo, el conjunto de los números irracionales, $\mathbb{J}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ se define como el conjunto de todos los reales números que no están en $\mathbb{Q},$ pero, claramente, $i \notin \mathbb{R}$, por lo que debe ser ese $i \notin \mathbb{J}$, lo $i$ es no irracional.

Claramente, los dos primeros párrafos parecen contradecirse entre sí, así que me estoy preguntando: es $i$ irracional o racional?

Answer 1

Esto depende de la convención. Como usted dice, si el irrationals se definen como $\,\Bbb R\setminus \Bbb Q\,$ $\,i\,$ no es ni irracional ni racional. Sin embargo, muchos autores utilizan "irracional" para decir "no racional", es decir, $\,\not\in \Bbb Q,\,$ por lo tanto $\,i\,$ es irracional. Esto es bastante común el uso en la universidad a nivel de álgebra.

Por ejemplo, en mi 2006/3/8 de la lesión.matemáticas post , comenté que si uno busca books.google.com para "irracional algebraico" uno encuentra que dicho uso por muchos eminentes matemáticos: por ejemplo, John Conway, Gelfond, Manin, Ribenboim, Shafarevich, Waldschmidt (esp. en diophantine aproximación, por ejemplo, Thue-Siegel-teorema de Roth, Gelfond-Schneider teorema, etc). Ver también otros puestos en los que el sci.matemáticas hilo titulado "Es $\,i\,$ irracional"?

Nuestra curiosidad, me encontré con otra búsqueda de Libros de Google de búsqueda en real "irracional" de los números. Los autores utilizando la terminología presumiblemente emplear la definición más general de los números irracionales. Entre tales autores encontré el siguiente eminentes matemáticos: Bombieri, Davenport, Dedekind, Euler, Hurwitz, Kronecker, Kirilov, Mahler, Lang, Ostrowski, Ribenboim, Weil.

Sin embargo, no es fácil encontrar una definición explícita desde el más alto nivel de libros de texto asume que el lector ya conoce la terminología básica. Yo vagamente recordar que Gerry Myerson una vez publicado en el sci.matemáticas de enlaces a las definiciones que hacen es, sin duda, claro que el autor emplea la definición más general de "irracional". Tal vez alguien puede cavar esas, o localizar a otras personas.

En cualquier caso, es una cuestión de definición. En la mayoría de los casos uno rápidamente puede inferir la intención de denotación del contexto, por lo que hay poca probabilidad de confusión.

Answer 2

No es ni. Igual que lo es ni positivo ni negativo. Se reparten los números reales en números racionales e irracionales; pero las cosas que no son números verdaderos no tienen que ser uno u otro.

Su enigma es similar a decir "una matriz de $2 \times 2$ no es racional. Por lo que debe ser irracional. Pero no es irracional; una contradicción." ¿Parece que mas claro por que es una falsa dicotomía?

Answer 3

Si te digo que para el almuerzo se puede tener pizza o pasta, y ves a alguien comiendo una hamburguesa, ¿ que niega mi estado de cuenta? O realidad?

El contexto no es absoluta en las matemáticas, y es importante recordar que. Es cierto que en el contexto de los números reales tenemos racionales y irrationals, y lo que no es racional es irracional. Pero en el contexto de los números reales no tenemos $\sqrt{-1}$.

En el contexto de $\Bbb C$ a menudo hablamos menos acerca de los números irracionales, de modo que el contexto puede ser tomada tanto en dirección. Es posible declarar "En el contexto de los números complejos, los números irracionales se $\Bbb{C\setminus Q}$", en cuyo caso $i$ es ciertamente irracional, pero también es posible hacer otro tipo de declaraciones como "Los números irracionales son todavía $\Bbb{R\setminus Q}$", en cuyo caso $i$ no es irracional, pero no lo hace racional.

Es una cuestión de contexto y no es cierto que siempre hay un convencionales y acordado contexto. Esta pregunta es un buen ejemplo de esto.

Answer 4

$\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$ y $\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}.$

Tenga en cuenta que $i$ es un número, y para cualquier número, es la pregunta si es racional o no tiene sentido. No es racional, ya que no es un cociente de dos enteros. Por lo tanto, es irracional, como números irracionales son el complemento de lo racional que (complemento dependiendo del contexto, ya sea reales o números complejos).

Answer 5

Definición real del número irracional dice que un número irracional es cualquier `` que no se puede expresar como un cociente de enteros. Así que su primera línea es de hecho incorrecto.