Cuál es la verdad sobre el rango y la nulidad

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sea $n$ $\times$ $n$ matrices reales tales que $AB$ = $BA$ = $0$ y $A+B$ es invertible. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?

$1$ rango $(A)$ =rango $(B)$ .

$2$ rango $(A)$$ + $rank $ (B) $ =$ n$

$3$ . nulidad $(A)$ $+$ nulidad $(B)$ = $n$

$4$ . $A-B$ es invertible.

No consigo cómo hacerlo. Al menos está claro que Rank $(A+B)$ = $n$ . ¡ayúdame!

Answer 1

Como ya se ha dicho por otros, la 1 es falsa tomando $A=0$ y $B$ cualquier matriz invertible.

Desde $AB=0$ , $A$ aniquila la imagen de $B$ por lo que la nulidad de $A$ debe ser al menos tan grande como el rango de $B$ Así que $$\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{nullity}(B)\geq \operatorname{rank}(B)+\operatorname{nullity}(B)=n$$ Si $\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{nullity}(B)>n$ entonces $\operatorname{nul}(A)$ y $\operatorname{nul}(B)$ son subespacios de $V$ con dimensiones que suman más de $n$ . Así que la unión de una base para $\operatorname{nul}(A)$ con una base para $\operatorname{nul}(B)$ tiene más de $n$ vectores y deben ser dependientes. Por lo tanto, algún vector no nulo $v$ está en ambos $\operatorname{nul}(A)$ y $\operatorname{nul}(B)$ . Pero esto contradice la condición dada de que $A+B$ es invertible, ya que $(A+B)v=0$ . Por lo tanto, $$\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{nullity}(B)=n$$ que se demuestra 3.

2 es verdadera utilizando 3 y el teorema de la nulidad: restar cada lado de 3 de $2n$ .

4 es verdadera porque en las condiciones dadas, $(A+B)^2$ es invertible, y $$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A^2-AB-BA+B^2=(A-B)^2$$

Answer 2

Desde $A$ y $B$ conmutación, cada uno estabiliza el núcleo y la imagen del otro. Entonces $A+B$ estabiliza cada uno de estos núcleos e imágenes, y como $A+B$ es invertible, así como cada una de sus restricciones. Ahora la restricción de $~B$ a la imagen de $~A$ es cero (ya que $BA=0$ ), por lo que la restricción de $~A$ a su propia imagen coincide con la restricción de $A+B$ y, por tanto, es invertible. Esto significa que la imagen si $A$ tiene una intersección de dimensión cero con el núcleo de $A$ y, por el teorema de la nulidad, los dos subespacios son complementarios en $\mathbf R^n$ . Lo mismo ocurre con el núcleo y la imagen de $B$ . Dado que el núcleo de $B$ contiene la imagen de $A$ y viceversa, estas dos inclusiones son igualdades por razones de dimensión: el núcleo de $B$ es igual a la imagen de $A$ y viceversa.

Ahora los puntos de la pregunta:

1. ciertamente no hay razón para que las imágenes de $A,B$ deben tener la misma dimensión; incluso no pueden hacerlo si $n$ es impar;
2. por otro lado los subespacios son complementarios, las dimensiones de las imágenes de $A,B$ se suman a $~n$ ;
3. y también las dimensiones de sus núcleos, que no son más que los mismos subespacios pero intercambiados;
4. el mapa $A-B$ coincide con $A+B$ en el núcleo de $B$ y con $-(A+B)$ en el núcleo de $A$ ; siendo invertibles ambas restricciones a estos subespacios complementarios, también lo es $A-B$ sí mismo.

El argumento final también muestra que $\lambda A+\mu B$ es invertible siempre que $\lambda\neq0\neq\mu$ .