Deje $K$ ser un campo de característica 2.
Para cada una de las $a\in K$, podemos encontrar siempre $x$ tal que $x^2=a$?
Y me vino a esta pregunta, mientras que la lectura de "la Aritmética de Curvas Elípticas".
La motivación original es demostrar que $\Delta = 0 \Leftrightarrow E$ (curva elíptica) es singular.
La prueba dada por la característica 2 es la siguiente:
Empezar con un general de Weierstrass forma:
$$E: y^2+a_1 xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a6$$
Si $a_1=0$, a continuación, configuración de $x\mapsto x+a_2$ se obtiene una nueva curva:
$$E:y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6$$ where $\Delta=a_3^4$ (tenga en cuenta que hay una errata).
Supongamos $\Delta=0\implies a_3=0$. Entonces, queremos mostrar que es singular.
Así que nos fijamos en
$$f(x,y)=y^2+a_3y-x^3-a_4x-a_6$$
Y necesitamos $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\implies -3x^2-a_4=x^2-a_4=0$ como parte del requisito de la singularidad. Esto lleva a que requieren una solución de $x^2=a_4$$a_4\neq 0$, lo que implica que siempre podemos encontrar una raíz cuadrada. ¿Es esto cierto? O es mi razonamiento equivocado en algún lugar? (Si esto es cierto, entonces podemos fácilmente cumplir con los otros requisitos)
Si se define un mapa de $\phi:K\to K$ tal que $\phi(x)=x^2$, podemos ver que $\phi$ es un inyectiva anillo endomorfismo. Así que supongo que la pregunta es una especie de equivalente a si $\phi$ debe ser surjective, lo que significa que es un isomorfismo. No veo por qué debe ser cierto, aunque.
