Tricky Doble integral sobre una unión de dos regiones.

Question

Problema: Evaluar la integral, $$\int \int_D xydA$$ where $D$ a es la unión de la región se muestra a continuación:

Me han resuelto el problema y han obtenido la respuesta $\frac{-1}{9}.$ Ya que no hay respuestas al final del libro, me gustaría confirmar si esta es la respuesta correcta o no. Gracias.

La integral que puedo configurar es la siguiente:

$$\int_{-1}^{1}\int _{0}^{\sqrt{1-x^2}}xydydx+\int_{-1}^{1}\int _{-x/3-1/\sqrt{3}}^{\sqrt{x^2-1}}xydydx$$

Answer 1

La integral que puedo configurar es la siguiente:

$$\int_{-1}^{1}\int _{0}^{\sqrt{1-x^2}}xydydx+\int_{-1}^{1}\int _{-x/3-1/\sqrt{3}}^{\sqrt{x^2-1}}xydydx$$

La primera integral (para el semi-círculo) es bueno y debe evaluar a $0$ (que se podría esperar debido a que el factor de $x$ y la simetría w.r.t. el $y$-eje).

La segunda integral es lo correcto. Tenga en cuenta que si usted toma fija límites para $x$, la región no está incluida entre las $x=-1$$x=1$, se ejecuta hasta que $x=2$. Yo no recomendaría este orden de integración, porque entonces tendría que dividir la integral en dos partes, ya que los límites de la $y$ será diferente para $-1 \le x \le 1$ (donde el límite superior es $y=0$ o el semi-círculo, ya que usted podría incluir esa parte en esta integral) y para $1 \le x \le 2$ (donde el límite superior sería la hipérbola).

Si usted toma fija límites para $y$ para la parte de la región por debajo de la $x$-eje, se $y$ $-\sqrt{3}$ $0$y ahora usted no tiene que repartir para $x$, ya que el $x$ se ejecuta desde la línea de la hipérbola para todos los $y$ en este intervalo. Puede configurar la integral y tomar desde allí?

Answer 2

Los dos lados del semicírculo se anulan entre sí, por lo que la integral sobre esa parte llega a$0$. Por lo tanto, solo tenemos que preocuparnos por la parte inferior. Esto es dado por$$\int_{-\sqrt3}^0 \int^{\sqrt{1+y^2}}_{-y\sqrt3-1}xy\, dx\,dy = \frac{1}{2}\int_{-\sqrt3}^0 y(1+y^2) - y(1+y\sqrt3)^2 \, dy = -\frac{3}{4}$ $

Parece que tienes tres errores en tu segunda integral. Primero, como se mencionó, el límite superior para$y$ solo es válido cuando$x\geq 1$. Segundo, su límite inferior para$y$ es incorrecto; la ecuación para esa línea es$y=-x/\sqrt3-1/\sqrt3$. Esto, los límites$x$ deben ser$-1$ a$2$.