¿Ejemplos de resultados útiles de la teoría de categorías?

Question

Yo soy laico a la Categoría de teoría. Tratando de entender, acabo de leer un poco informativa sobre ella y las páginas de la wiki de la Categoría, el Functor, de Morfismos. Sin embargo, yo todavía no podía ver el fondo de la misma.

Categoría de la teoría, en los ojos del profano, es otra capa de resumen, similar a la de álgebra abstracta del grupo, anillo, un campo o un conjunto de la teoría de la inducción, poset, buen orden. Ahora, después de la abstracción, ¿cuál es el beneficio?

Un posible beneficio que yo podía imaginar, es que se puede pasar por alto la restricción alguna en el álgebra o la teoría de conjuntos? por ejemplo la teoría de conjuntos se habla de "conjunto", tal vez la Categoría de la Teoría se puede hablar de "clase"? o, álgebra habla acerca de "grupo", esto es basado de nuevo en el set, por lo que la Categoría de la Teoría se puede hablar de "grupo-como las categorías"? así que tal vez algunos de los resultados en la teoría de conjuntos o de álgebra se puede generalizar? por ejemplo álgebra habla acerca de los grupos, diciendo que la izquierda $e$ derecho e $e$ es el mismo, y a la izquierda inversa y a la derecha inverso de un elemento es también el mismo, tal vez esto podría ser generalizado en la Categoría de Teoría?

De todos modos, podría dar algunos ejemplos de la utilidad de la Categoría de Teoría resultados (teoremas o enfoques) que podría ser utilizado en otras más "concretas" los campos de matemática?

Answer 1

Categoría de la teoría es absolutamente esencial para la moderna geometría algebraica y teoría de números. En la geometría algebraica, cohomology grupos de espacios definidos (en su mayoría) el uso de la maquinaria de álgebra homológica y derivados functors. Todo esto depende mucho de la categoría de teoría.

El Artin-Grothendieck teoría de étale cohomology es uno de los mayores logros de la moderna geometría algebraica. Esta teoría juega un papel clave en la prueba de las Conjeturas de Weil, que son muy concretas (medida como el número de la teoría) y muy importante. Nada de esto hubiera sido posible sin la categoría de teoría. Esto no sólo ayuda a formalizar la teoría: desempeña un importante papel esencial en todas las construcciones.

En última instancia, incluso la prueba del Último Teorema de Fermat ha dependido indirectamente, pero esencialmente en muchas de las ideas de la categoría de teoría.

Answer 2

También sé muy poco de la categoría de teoría, pero me he encontrado con la noción de una característica universal a ser particularmente útiles. A menudo hay varias maneras de construir tipos importantes de los objetos de la matemática, por ejemplo bases de espacios vectoriales, espacios cociente, tensores, productos, etc. Para mí, no siempre fue claro a partir de la construcción de lo que exactamente estamos tratando de construir. Propiedades universales a menudo dilucidar esto básicamente por la extracción de exactamente qué es tan especial acerca de un objeto, por lo tanto motivar a construcciones y aclarando muchas pruebas.

En un nivel más abstracto, cosas como functors en un sentido captura la noción de "estructura perservation", como a los dispositivos que convierten la conmutativa diagramas de una categoría a otra.