¿Puedo usar la factorización en números primos para demostrar que los números racionales son numerables?

Question

Sé que el argumento clásico para la numerabilidad de $\mathbb{Q}$ es el recorrido en zigzag, pero ¿podría también demostrar que los racionales son numerables usando la factorización de números naturales? Por ejemplo, definiendo una función inyectiva $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{N}$ donde $f(\frac{a}{b}) = 2^{a}3^{b}$. Esto debería funcionar, a menos que me esté perdiendo algo.

Answer 1

Esto casi funciona. Debes preocuparte un poco por el signo de $\frac{a}{b}$: tal como está, tu función no funciona en racionales negativos. Pero podrías hacer alguna definición como $g(c\frac{a}{b})=2^a3^b5^{1+c}$, donde $a$ es no negativo, $b$ es positivo, $\gcd(a,b)=1$ y $c \in \{-1,1\}$.

Answer 2

Solo para dar una expresión simple y única que maneje todos los casos, si $q=a/b$ con $\gcd(a,b)=1$ y $b\ge1$, entonces

$$f(q)=2^{|a|}\cdot3^b\cdot5^{|a|+a}$$

será una inyección de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{N}$.

Answer 3

Necesidad de 1) especificar que $\gcd(a, b) = 1$ (pero podemos asumir que es dado)

Necesidad de indicar que $0 = 0/1$ (probablemente podemos considerarlo como un hecho establecido --- oh, espera, por supuesto que podemos. $\gcd(0, a) = a$ entonces $a/b = 0; \gcd(a, b) = 1$ solo puede ser $b = 1$).

Necesidad de tener en cuenta los números negativos. Podemos declarar que un número racional tiene una representación única como $\pm \frac ab$ donde $a \ge 0$, $b > 0$ y $\gcd(a, b) = 1$. Entonces podemos tener $f(+a/b) = 2^a3^b$ y $f(-a/b) = 2^a3^b*5$.

Si por alguna razón queremos mantener solo los dos factores primos, podemos declarar que los números positivos y el cero van a potencias pares de $2$ y los negativos a potencias impares. es decir $f(\pm \frac ab = (-1)^n \frac ab; n = \{0, 1\}) = 2^{2a+n}3^b$.

Entonces, sí, estas son funciones inyectivas perfectamente bien definidas en $\mathbb N$ y así $\mathbb Q$ es numerable.