Puede un continuo surjection entre la compacta se comportan mal wrt Borel probabilidad?

Question

Supongamos que a,B son compactos métrica espacios con Borel probabilidad de medidas de $m_A$ $m_B$ respectivamente. Deje $f:A\to B$ ser un continuo surjection. Es cierto que si $m_A(K) = 1$ para un conjunto de Borel $K$$m_B(f(K) ) = 1$ ? El hecho de que $f(K)$ es Borel se discute en imágenes Continuas de abrir los conjuntos de Borel?

UPD: Supongamos, además, que $A$ es segundo contable (en el enlace que he adjuntado a trabajar).

Me preguntó continuaciones de esta pregunta aquí y aquí.

Answer 1

Tome $A = B = \{1,2\}$ con el discreto topologías y $m_A, m_B$ la única probabilidad de medidas con $m_A (\{1\})=1$ $m_B(\{2\})=1$ y $f(1)=1$, $f(2)=2$.

Esto produce un contraejemplo tomando $K=\{1\}$.