Encontrar todas las soluciones integrales de $y^2=x^3+7$

Question

Encontrar todas las soluciones integrales de $y^2 = x^3+7$ .

He intentado utilizar muchos módulos diferentes, pero nunca funciona. Con el módulo $9$ , puedes conseguir $x$ es divisible por $3$ .

Answer 1

Lema. Si $p=4n+3$ es un primo, entonces $x^2+y^2\equiv 0\pmod p$ implica $x,y\equiv 0\pmod p$ .

Prueba. Supongamos que $x\not\equiv \pm y\pmod p$ . (Porque si este es el caso, entonces $(x,y)\equiv (\ell,\pm \ell)\pmod p$ y luego $x^2+y^2\equiv 0\pmod p$ implicaría $2\ell^2\equiv 0\pmod p$ es decir $\ell\equiv 0\pmod p$ por lo que el lema se cumple en este caso).

Multiplicar $x^2+y^2\equiv 0\pmod p$ por $x^2-y^2$ (que no es $\equiv 0$ por lo que dijimos anteriormente) para obtener $x^4\equiv y^4\pmod p$ . Sube esto a la $n$ de la potencia para conseguir $x^{4n}\equiv y^{4n}$ . Multiplica ambos lados por $x^2y^2$ para conseguir $x^{4n+2} y^2\equiv y^{4n+2} x^2\pmod p$ . Ahora $p=4n+3$ implica $p-1=4n+2$ por lo que la ecuación anterior se reescribe como $x^{p-1} y^2\equiv y^{p-1} x^2\pmod p$ o por el Pequeño Teorema de Fermat, $x^2\equiv y^2\pmod p$ . Pero también tenemos $x^2+y^2\equiv 0\pmod p$ . Por lo tanto, al restar se obtiene $2y^2\equiv 0\pmod p$ y así $y\equiv 0\pmod p$ y esto da $x\equiv 0\pmod p$ . Q.E.D.

Solución. Obviamente $x$ no puede ser par, o bien $y^2=x^3+7\equiv 7\pmod 4$ es decir $y^2\equiv 3\pmod 4$ lo cual es absurdo (residuos cuadráticos). Así que $x$ debe ser impar.

Ahora bien, añade $1$ a ambos lados y el factor como $$y^2+1=(x+2)((x-1)^2+3).$$ Desde $x$ es impar, $(x-1)^2+3\equiv 3\pmod 4$ . Por lo tanto, existe un primo $p$ de la forma $4n+3$ dividiendo $(x-1)^2+3$ . Entonces $p$ divide el $\text{LHS}$ $y^2+1$ por lo que, por el lema, divide a $y$ y $1$ . Pero un primo no puede dividir $1$ . Concluimos que nuestra suposición no puede ser cierta. Por lo tanto, no existen soluciones integrales a la ecuación. Q.E.D.