Me pregunto cómo calcular el límite (si existe) de $$\lim_{x\rightarrow 0} x^2 \csc(1/x).$$ Estoy bastante seguro de que el límite no existe, como la trama de $\csc(1/x)$ sugiere que es la alternancia como $x\rightarrow 0^+$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo formalmente mostrar esto. Cualquier sugerencias?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En orden para $\lim_{x\to 0+}f(x)$ a existir, debe haber un intervalo de $(0,a)$, $a$ positivo, tal que $f(x)$ está definido para todos los $x$ en el intervalo de $(0,a)$.
Pero si $x=\dfrac{1}{n\pi}$ donde $n$ es un entero positivo, entonces $\csc(1/x)$ no está definido en $x$. Así que hay positivos $x$, arbitrariamente cerca de $0$, en el que $\csc(1/x)$ no está definido. De ello se sigue que no es $a$ con la propiedad deseada.
Comentario: Nos aprovechamos de un punto de vista técnico para dar una respuesta. Pero no es difícil ver que, además, mediante la adopción de $x$ lo suficientemente cerca como para $\dfrac{1}{n\pi}$, podemos hacer $x^2\sec{(1/x)}$ arbitrariamente grande, positivo o negativo.
DiGi
Puntos
1925
Hay un acceso directo que puede utilizar, gracias al hecho de que no son los números reales positivos arbitrariamente cerca de $0$ a que $f$ no está definido, pero yo voy a mostrar cómo se podría atacar el problema, incluso si un acceso directo no estaban disponibles.
Usted sabe que $\sin x=0$ al $x$ es un múltiplo de a $\pi$. Supongamos que $x_n$ es sólo un poco más de $\frac1{n\pi}$; nos preocuparemos de lo mucho un poco más tarde. A continuación, $|\sin 1/x_n|$ está muy cerca de a $0$, lo $|\csc 1/x_n|$ es muy grande. Y $x_n^2\ge\frac1{n^2\pi^2}$, lo $|f(x_n)|\ge\frac{|\csc 1/x_n|}{n^2\pi^2}$. Si podemos elegir $x_n$, de modo que $|\csc 1/x_n|\ge n^3$, vamos a estar en el negocio: le haremos $|f(x_n)|\ge\frac{n}{\pi^2}$ por cada $n$, mostrando que el $f$ no tiene un límite finito de la derecha en $0$.
Para obtener $|\csc 1/x_n|\ge n^3$, tenemos que conseguir $|\sin 1/x_n|\le\frac1{n^3}$. Recuerde que $x_n$ se supone que es sólo un poco más de $\frac1{n\pi}$, lo $1/x_n$ debe ser sólo un poco menos de $n\pi$, lo bastante cerca para que $|\sin 1/x_n|\le\frac1{n^3}$. Recordar que $\sin x\approx x$ pequeña $x$, tratamos de $1/x_n=n\pi-\frac1{n^3}$. Entonces
$$\begin{align*} |\sin 1/x_n|&=\left|\sin n\pi\cos\frac1{n^3}-\sin\frac1{n^3}\cos n\pi\right|\\ &=\left|\sin\frac1{n^3}\right|\\ &\le\frac1{n^3}\;, \end{align*}$$
exactamente como queríamos. Recapitulando, tenemos $|\sin 1/x_n|\le\frac1{n^3}$, lo $|\csc 1/x_n|\ge n^3$, e $x_n>\frac1{n\pi}$, por lo que
$$|f(x_n)|=x_n^2|\csc 1/x_n|>\frac{n^3}{n^2\pi^2}=\frac{n}{\pi}\;.$$
