Número complejo desigualdad $| z_1 z_2 \ldots z_m - 1 | \leq e^{|z_1 - 1| + \ldots + |z_m - 1|} - 1$

Question

Sea $z_1, z_2 \ldots z_m$ números complejos, $m \in \mathbb{N}$. ¿Puede alguien decirme cómo probar la desigualdad siguiente?

$| z_1 z_2 \ldots z_m - 1 | \leq e^{|z_1 - 1| + \ldots + |z_m - 1|} - 1$

En caso de que usted se está preguntando, esto se afirma sin pruebas en un papel por Von Neumann, sobre productos de infinita tensor de espacios de Hilbert.

Answer 1

EDIT: Esta respuesta es incorrecta.

Todo se reduce a la desigualdad $|xy-1| \leq |x-1|+|y-1|$, que espero sea cierto.

Teniendo en cuenta esta desigualdad, demostrar por inducción que

$|z_1\cdots z_m - 1| \leq |z_1 - 1| + \cdots + |z_m - 1|$.

Ahora uso $e^x \geq 1 + x$.

Answer 2

La desigualdad en la cuestión de los límites de lo lejos que puede obtener de $1$ por la multiplicación de varios números complejos que individualmente pueden no estar lejos de $1$. Así que tiene sentido para tratar de obtener un obligado para el producto de sólo dos números complejos y, a continuación, proceder por inducción.

Lema: Supongamos $\lvert z_1 - 1\rvert = \alpha_1$$\lvert z_2 - 1\rvert = \alpha_2$. A continuación,$\lvert z_1 z_2 - 1\rvert \le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) - 1$.

Prueba: sabemos $\alpha_1\alpha_2 = \lvert z_1z_2 - z_1 - z_2 + 1\rvert$. Por el triángulo de la desigualdad en los tres puntos $z_1 z_2$, $z_1 + z_2 - 1$, y $1$, tenemos $$\begin{align} \lvert z_1 z_2 - 1\rvert &\le \lvert z_1 z_2 - z_1 - z_2 + 1\rvert + \lvert z_1 + z_2 - 2\rvert \\ &\le \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1 + \alpha_2 \\ &= (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) - 1. \end{align}$$

Ahora, varios números, $$\begin{align} \lvert z_1 z_2 \cdots z_m - 1\rvert &\le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_{2,\ldots,m}) - 1 \\ &\le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2)(1 + \alpha_{3,\ldots,m}) - 1 \\ &\vdots \\ &\le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2)\cdots(1 + \alpha_m) - 1, \end{align}$$ where $\alpha_{2,\ldots,m}$, for example, is my hopefully transparent abuse of notation to denote $\lvert z_2\cdots z_m - 1\rvert.$ Finally, since $1+x \le e^x$ for real $x$, la desigualdad de la siguiente manera.