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Número complejo desigualdad $| z_1 z_2 \ldots z_m - 1 | \leq e^{|z_1 - 1| + \ldots + |z_m - 1|} - 1$

Sea $z_1, z_2 \ldots z_m$ números complejos, $m \in \mathbb{N}$. ¿Puede alguien decirme cómo probar la desigualdad siguiente?

$| z_1 z_2 \ldots z_m - 1 | \leq e^{|z_1 - 1| + \ldots + |z_m - 1|} - 1$

En caso de que usted se está preguntando, esto se afirma sin pruebas en un papel por Von Neumann, sobre productos de infinita tensor de espacios de Hilbert.

7voto

John Fouhy Puntos 759

EDIT: Esta respuesta es incorrecta.

Todo se reduce a la desigualdad $|xy-1| \leq |x-1|+|y-1|$, que espero sea cierto.

Teniendo en cuenta esta desigualdad, demostrar por inducción que

$|z_1\cdots z_m - 1| \leq |z_1 - 1| + \cdots + |z_m - 1|$.

Ahora uso $e^x \geq 1 + x$.

3voto

theog Puntos 585

La desigualdad en la cuestión de los límites de lo lejos que puede obtener de $1$ por la multiplicación de varios números complejos que individualmente pueden no estar lejos de $1$. Así que tiene sentido para tratar de obtener un obligado para el producto de sólo dos números complejos y, a continuación, proceder por inducción.

Lema: Supongamos $\lvert z_1 - 1\rvert = \alpha_1$$\lvert z_2 - 1\rvert = \alpha_2$. A continuación,$\lvert z_1 z_2 - 1\rvert \le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) - 1$.

Prueba: sabemos $\alpha_1\alpha_2 = \lvert z_1z_2 - z_1 - z_2 + 1\rvert$. Por el triángulo de la desigualdad en los tres puntos $z_1 z_2$, $z_1 + z_2 - 1$, y $1$, tenemos $$\begin{align} \lvert z_1 z_2 - 1\rvert &\le \lvert z_1 z_2 - z_1 - z_2 + 1\rvert + \lvert z_1 + z_2 - 2\rvert \\ &\le \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1 + \alpha_2 \\ &= (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) - 1. \end{align}$$

Ahora, varios números, $$\begin{align} \lvert z_1 z_2 \cdots z_m - 1\rvert &\le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_{2,\ldots,m}) - 1 \\ &\le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2)(1 + \alpha_{3,\ldots,m}) - 1 \\ &\vdots \\ &\le (1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2)\cdots(1 + \alpha_m) - 1, \end{align}$$ where $\alpha_{2,\ldots,m}$, for example, is my hopefully transparent abuse of notation to denote $\lvert z_2\cdots z_m - 1\rvert.$ Finally, since $1+x \le e^x$ for real $x$, la desigualdad de la siguiente manera.

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