Epsilon-Delta Prueba para $x^n$ tiende a 0

Question

¿Cuál es la epsilon prueba de que $x^n \rightarrow 0$$n \rightarrow \infty$$|x| < 1 $? Sólo sé que es verdadero, porque sé de la serie geométrica converge, lo que implica sus términos debe tender a 0, pero nunca he visto a un épsilon prueba de este simple hecho.

Answer 1

Deje $|x|=\dfrac{1}{1+t}$. Desde $|x|\lt 1$,$t\gt 0$.

Por el Teorema del Binomio, $(1+t)^n \ge 1+nt\gt nt$. Ahora es fácil encontrar a $N$ que si $n \gt N$,$\dfrac{1}{nt}\lt \epsilon$.

Answer 2

Supongamos que el límite de la secuencia de $\{x_n\}$$L$. Aquí $x_n=x^n$. Podemos demostrar fácilmente que el límite existe mediante la Prueba de razón (dado $|x|<1$)

Desde $L$ es el límite, siempre podemos encontrar una $N \in \mathbb{N}$ por cada $\epsilon > 0\,$ s.t.
$$|x_n-L|<\epsilon \qquad \forall n\ge N$$

$\Rightarrow$$L-\epsilon <x^n<L+\epsilon$ y $L-\epsilon <x^{n+1}<L+\epsilon$

También la de arriba equaion imlies $(L-\epsilon)x <x^{n+1}<(L+\epsilon)x$

$\Rightarrow$ $L-\epsilon < (L+\epsilon)x$

$\Rightarrow$ $L<\epsilon \frac{1+x}{1-x}$

Ahora desde $\epsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño, se puede mostrar fácilmente que $L=0$

Answer 3

Usted no necesita el teorema del binomio. $(1+t)^n \ge 1+nt$ es la desigualdad de Bernoulli, la cual es fácilmente demostrado por inducción en $n$. Esta prueba es adecuada para una introducción al álgebra de clase, una vez que la inducción ha sido presentado.

La primera vez que vi esta prueba en "¿Qué es la Matemática?" por Courant y Robbins - un libro maravilloso para el aprendizaje de las matemáticas.