Justificar una igualdad que involucra un cerrado operador $A$

Question

Justificar la igualdad $$A \int_0^\infty e^{-\lambda t} S(t) u \, dt = \int_0^\infty e^{-\lambda t} AS(t) u \, dt$$ used in (16) of §7.4.1. (Hint: Approximate the integral by a Riemann sum and recall $Una$ es un cerrado operador.)

PDE por Evans, 2ª edición: Capítulo 7, Ejercicio 13

Las propiedades de $A$ ser un cerrado operador se describen en este comentario en la página 436:

Observación. A decir $A$ es cerrado, lo que significa que siempre $u_k \in D(A)$ ($k=1,\ldots$) y $u_k \to u$, $Au_k \to v$ como $k \to \infty$, $$u \in D(A), \quad v = Au.$ $

Ahora, cuando traté de recordar la definición de la integral de la suma de las definiciones de ambas expresiones, soy probablemente supone que para mostrar que $$A \sum_{k=1}^\infty e^{-\lambda t_k^*} S(t_k^*) u \Delta t = \sum_{k=1}^\infty e^{-\lambda t_k^*} AS(t_k^*) u \Delta t $$ Pero, ¿cómo puedo utilizar las propiedades de la cerrada operador $A$ a justificar esta igualdad?

Answer 1

Conjunto

$$u_k := \sum_{j=1}^k e^{-\lambda t_j^*} S(t_j^*)u \Delta t.$$

Desde $u \in D(A)$ implica $S_t u \in D(A)$ cualquier $t \geq 0$,$u_k \in D(A)$. Por otra parte, por la linealidad de $A$,

$$Au_k = \sum_{j=1}^k e^{-\lambda t_j^*} AS(t_j^*)u \Delta t.$$

Por otra parte, sabemos que el $u_k$ converge a

$$u := \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} S(t) u \, dt.$$

Exactamente el mismo razonamiento muestra que

$$Au_k \to v:= \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} A S(t) u \, dt.$$

Como $A$ es un cerrado operador, se deduce que el $Au = v$, es decir,

$$A \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} S(t) u \, dt = \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} A S(t) u \, dt.$$