Si cada R-módulo proyectivo, entonces R es un campo.

Question

Por cierto, estamos suponiendo que R es una parte integral de dominio. Supongo que vamos a querer demostrar que R no tiene trivial adecuada ideales. Por lo tanto, vamos I un ideal en R.

$0\rightarrow I \rightarrow R\rightarrow R/I\rightarrow 0$ se divide, desde que R/I es un R-módulo, así proyectiva. de manera que R es isomorfo a $I \oplus R/I$, pero no estoy muy seguro de qué hacer a partir de ahí.

Alternativamente, cada R-módulo proyectivo iff cada R-módulo es inyectiva, por lo Baer, el criterio podría ser útil, pero repito, no estoy seguro de dónde ir de eso.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Proyectiva módulos de torsión libre. Si $R$ tiene un trivial ideal $I$, $R/I$ no está de torsiones. Así que si todos los $R$-módulo de torsión libre, $R$ no tiene no trivial ideales y, por tanto, es un campo. No es necesario suponer que $R$ es una parte integral de dominio.

Answer 2

Cada módulo proyectivo caracteriza a la clase de semisimple anillos. Estos se clasifican por el Wedderburn-teorema de Artin como productos directos de la matriz de los anillos de la inclinación de campo. Si se incluyen sesgo de campo en su concepto de `campo', entonces su afirmación es verdadera. En cualquier caso, usted tiene que $R$ es una parte integral de dominio, de lo contrario, usted podría tomar $M_2(\mathbb{C})$ por ejemplo.