Demostrar que para cualquier elemento $b$, $|b|$ divide $|a|$ (orden de $b$ divide el fin de $a$).

Question

Deje $a$ ser un elemento de orden máximo a partir de un número finito de grupo Abelian $G$. Demostrar que para cualquier elemento $b$, $|b|$ divide $|a|$ (orden de $b$ divide el fin de $a$).

Answer 1

Lema: Si las órdenes $|x|,|y|$ $x,y\in G$ son coprime, a continuación, el orden de $xy$$|x| |y|$.

Prueba: Si $(xy)^m = 1$$x^{m|y|} = 1$, lo $|x|$ divide $m|y|$. Desde $|x|$ $|y|$ son coprime, esto implica $|x|$ divide $m$. Del mismo modo $|y|$ divide $m$, así que por coprimality su producto se divide $m$.

Ahora vamos a $a$ ser su elemento de orden máximo, y $b$ cualquier otro elemento. Supongamos $p$ es un primer dividiendo $|b|$ a un poder superior que $|a|$. Escribir $|a| = p^i m$ $|b| = p^j n$ donde $j>i$ $p$ divide ni $m$ ni $n$. A continuación, $a^{p^i}$ $b^{n}$ han coprime órdenes, por lo $a^{p^i} b^n$ orden $p^j m > |a|$, una contradicción.

Answer 2

Por la estructura teorema para finitos(ly-generado) abelian grupos, no existe $d_1, \cdots, d_k \in \mathbb{Z}^+$ tal que

$$G \cong \dfrac{\mathbb{Z}}{d_1 \mathbb{Z}} \oplus \cdots \oplus \dfrac{\mathbb{Z}}{d_k \mathbb{Z}}$$

y $d_i$ divide $d_{i+1}$ por cada $1 \le i < k$.

Pero, a continuación, cada elemento tiene orden dividiendo $d_k$, e $d_k$ es el máximo orden de cualquier elemento de $G$.

Answer 3

A continuación es una prueba simple que hace que no emplean la alta potencia de la estructura teorema.

Teorema $\rm\quad maxord(G)\ =\ expt(G)\ $ finita grupo abelian $\rm\: G,\ $ es decir

$\rm\quad\ \ max\ \{ ord(g) : \: g \in G\}\ =\ min\ \{ n>0 : \: g^n = 1\ \:\forall\ g \in G\}$

Prueba de $\ \:$ Por el lema de abajo, $\rm\: S\: =\: \{ ord(g) : \:g \in G \}$ es un finito conjunto de los naturales cerrado bajo$\rm\ lcm\,.$

Por lo tanto, todos los $\rm\ s \in S\:$ es un divisor de la max elt $\rm\, m\: $ [más $\rm\: lcm(s,m) > m\:$],$\ $ por lo $\rm\ m = expt(G).$

Lema $\ $ finita grupo abelian $\rm\:G\:$ tiene una lcm-cerrado orden establecido, es decir, con $\rm\: o(X) = $ orden de $\rm\: X$

$\rm\quad\quad\quad\quad\ \ X,Y \in G\ \Rightarrow\ \exists\ Z \in G:\ o(Z) = lcm(o(X),o(Y))$

Prueba de $\ \ $ Por inducción en $\rm\, o(X)\: o(Y).\ $ Si $\:1\:$ entonces trivialmente $\rm\:Z = 1.\ $ lo Contrario

escribir $\rm\ o(X) =\: AP,\: \ o(Y) = BP',\ \ P'|P = p^m > 1\:,\ $ primer $\rm\: p\:$ coprime a $\rm\: A,B$

A continuación, $\rm\: o(X^P) = A,\ o(Y^{P'}) = B\:.\ $ Por inducción hay un $\rm\: Z\:$ $\rm \: o(Z) = lcm(A,B)$

por lo $\rm\ o(X^A\: Z)\: =\: P\ lcm(A,B)\: =\: lcm(AP,BP')\: =\: lcm(o(X),o(Y)).\ \ $ QED