Clasificación de los ideales primos de $\mathbb{Z}[X]$

Question

Dejemos que $\mathbb{Z}[X]$ sea el anillo de polinomios en una variable sobre $\Bbb Z$ .

Mi pregunta: ¿Es todo ideal primo de $\mathbb{Z}[X]$ uno de los siguientes tipos? En caso afirmativo, ¿cómo lo demostraría?

1. $(0)$ .

2. $(f(X))$ , donde $f(X)$ es un polinomio irreducible.

3. $(p)$ , donde $p$ es un número primo.

4. $(p, f(X))$ , donde $p$ es un número primo y $f(X)$ es un polinomio irreducible módulo $p$ .

Answer 1

Dejemos que $\mathfrak{P}$ sea un ideal primo de $\mathbb{Z}[x]$ . Entonces $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}$ es un ideal primo de $\mathbb{Z}$ Esto es así siempre que $R\subseteq S$ son anillos conmutativos. En efecto, si $a,b\in R$ , $ab\in R\cap P$ entonces $a\in P$ o $b\in P$ (ya que $P$ es primo). (Más generalmente, la contracción de un ideal primo es siempre un ideal primo, y $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}$ es la contracción de $\mathfrak{P}$ a lo largo de la incrustación $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}[x]$ ).

Así, tenemos dos posibilidades: $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=(0)$ o $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=(p)$ para algún número entero primo $p$ .

Caso 1. $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=(0)$ . Si $\mathfrak{P}=(0)$ hemos terminado; de lo contrario, dejemos que $S=\mathbb{Z}-\{0\}$ . Entonces $S\cap \mathfrak{P}=\varnothing$ , $S$ es un conjunto multiplicativo, por lo que podemos localizar $\mathbb{Z}[x]$ en $S$ para obtener $\mathbb{Q}[x]$ el ideal $S^{-1}\mathfrak{P}$ es primo en $\mathbb{Q}[x]$ y por lo tanto es de la forma $(q(x))$ para algún polinomio irreducible $q(x)$ . Despejando los denominadores y factorizando el contenido podemos suponer que $q(x)$ tiene coeficientes enteros y el gcd de los coeficientes es $1$ .

Afirmo que $\mathfrak{P}=(q(x))$ . En efecto, a partir de la teoría de las localizaciones, sabemos que $\mathfrak{P}$ consiste precisamente en los elementos de $\mathbb{Z}[x]$ que, cuando se consideran elementos de $\mathbb{Q}[x]$ , mienten en $S^{-1}\mathfrak{P}$ . Es decir, $\mathfrak{P}$ consiste precisamente en los múltiplos racionales de $q(x)$ que tienen coeficientes enteros. En particular, cada múltiplo entero de $q(x)$ se encuentra en $\mathfrak{P}$ Así que $(q(x))\subseteq \mathfrak{P}$ . Pero, además, si $f(x)=\frac{r}{s}q(x)\in\mathbb{Z}[x]$ entonces $s$ divide todos los coeficientes de $q(x)$ ya que $q(x)$ es primitivo, se deduce que $s\in\{1,-1\}$ Así que $f(x)$ es en realidad un entero múltiplo de $q(x)$ . Así, $\mathfrak{P}\subseteq (q(x))$ , demostrando la igualdad.

Así, si $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=(0)$ Entonces, o bien $\mathfrak{P}=(0)$ o $\mathfrak{P}=(q(x))$ donde $q(x)\in\mathbb{Z}[x]$ es irreducible.

Caso 2. $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}=(p)$ .

Podemos entonces considerar la imagen de $\mathfrak{P}$ en $\mathbb{Z}[x]/(p)\cong\mathbb{F}_p[x]$ . La imagen es primera, ya que el mapa es onto; los ideales primos de $\mathbb{F}_p[x]$ son $(0)$ e ideales de la forma $(q(x))$ con $q(x)$ irreducible mónico sobre $\mathbb{F}_p[x]$ . Si la imagen es $(0)$ entonces $\mathfrak{P}=(p)$ y hemos terminado.

En caso contrario, deja que $p(x)$ sea un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ que se reduce a $q(x)$ modulo $p$ y eso es monico. Nótese que $p(x)$ debe ser irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ ya que cualquier factorización no trivial en $\mathbb{Z}[x]$ induciría una factorización no trivial en $\mathbb{F}_p[x]$ (ya que $p(x)$ y $q(x)$ son ambas mónicas).

Afirmo que $\mathfrak{P}=(p,p(x))$ . De hecho, los teoremas de isomorfismo garantizan que $(p,p(x))\subseteq \mathfrak{P}$ . A la inversa, dejemos que $r(x)\in\mathfrak{P}(x)$ . Entonces existe un polinomio $s(x)\in\mathbb{F}_p[x]$ tal que $s(x)q(x) = \overline{r}(x)$ . Si $t(x)$ es cualquier polinomio que se reduce a $s(x)$ modulo $p$ entonces $t(x)p(x)-r(x)\in (p)$ por lo que existe un polinomio $u(x)\in\mathbb{Z}[x]$ tal que $r(x) = t(x)p(x)+pu(x)$ . Por lo tanto, $r(x)\in (p,p(x))$ Por lo tanto $\mathfrak{P}\subseteq (p,p(x))$ , dando la igualdad.

Así, si $\mathfrak{P}\cap\mathbb{Z}[x]=(p)$ con $p$ un primo, entonces $\mathfrak{P}=(p)$ o $\mathfrak{P}=(p,p(x))$ con $p(x)\in\mathbb{Z}[x]$ irreducible.

Esto demuestra la clasificación deseada.