Cómo calcular el límite de esta pregunta

Question

Estoy tratando de resolver esta pregunta:

Supongamos $X$ $Y$ son variables aleatorias con densidad conjunta $$ f_{X,Y}(x,y) = \left\{ \begin{array} {cc} 2 &\text{ for } 0<x<y<1 \\ 0 & \text{ otherwise.}\end{array} \right. $$ Encontrar la función de densidad de $Z$ donde $Z=X+Y$.

La solución dada es:

si $Z=X+Y$ después (a partir de un determinado teorema anterior), $$f_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(u,z-u) \,\mathrm{d}x \tag{1}$$ .

Considerar el apoyo de $f_{X,Y}$, $\{(x,y):0<x<y<1\}$. En orden para que el integrando en (1) a tomar valores distintos de cero, tenemos $0<u<z-u<1$. Esto implica:

$$\begin{array} {cc} 0<u<\frac{z}{2} & \text{ if } 0<z<1 \\ z-1<u<\frac{z}{2} & \text{ if } 1<z<2 \tag{2}\\ \end{array}$$ Por lo tanto la densidad marginal para la suma si: $$ f_Z(z) = \left\{ \begin{array} {cc} \int\limits_0^\frac{z}{2} 2 \, \mathrm{d}u=z & 0<z<1 \\ \int\limits_{z-1}^\frac{z}{2} 2 \, \mathrm{d}u= 2-z & 1<z<2 \\ 0 & \text{ otherwise} \end{array} \right. $$

Hay dos puntos que necesitan ayuda en:

Pregunta 1

Puedo entender por qué tenemos $0<u<z-u<1$. Sin embargo, no está claro para mí por qué esto debe implicar debemos dividir el integrando en dos regiones, a saber,$0<z<1$$1<z<2$, y no a alguna otra región. De hecho, no se me ocurre que debo dividir el integrando a todos. Por favor me ayudan a ver por qué debo realizar el integrando en la forma en que se describe en la solución.

Pregunta 2 Después de haber visto la solución, traté de rehacer la pregunta (sólo aceptó que necesito para dividir la integración en dos) y trató de obtener las desigualdades en (2), pero no tuvo éxito en conseguir la segunda desigualdad es decir $z-1<u<\frac{z}{2}$. En lugar de eso tengo las siguientes:

$$\begin{array} {cc} 0<z<2 & \Rightarrow& 1<x+y<2 \\ & \Rightarrow & 0<z-1<1 \\ & \Rightarrow & 0<u+y-1<u<1 \\ & \Rightarrow & 0<x+y-1<y<1 \\ & \Rightarrow & 0<z-1<u<1 \\ & \Rightarrow & z-1 <u<1 \end{array} $$

Hice y error en alguna parte? Sé que esto no puede ser la respuesta, ya que, a continuación, $f_Z(z)$ no integrar a$1$$0<z<2$. Pero yo no soy capaz de encontrar mi error.

Answer 1

Pregunta 1: no tienes que hacerlo de esta manera. La razón para la división es la siguiente: Si $z \in (0,1)$, entonces la condición de $z-u<1$ está satisfecho automáticamente, por lo que $$0 < u < z-u < 1 \iff 0<u < u-z.$$ In contrast, for $z \in [1,2)$, we really have to ensure that $z-u<1$, es decir, hay alguna condición adicional.

Pregunta 2: ¿Cómo se pasa de $0<z-1<1$ a $0<u+y-1<u<1$....?

Hacerlo paso por paso: Fix $u \in (0,1)$.

1. Si $z \in (0,1)$, $z-u<1$ es extremadamente satisfecho (como $u>0$). En consecuencia, $$u < z-u < 1 \iff u<z-u.$$ The right-hand side is equivalent to $2u<z$, i.e. $u< \frac{z}{2}$.

2. Deje $z \in (1,2)$. Podemos dividir $u<z-u<1$ en dos (por separado) condiciones:

   • $u<z-u$: Como en el primer caso, esto es equivalente a $u< \frac{z}{2}$.
   • $z-u<1$: Esta desigualdad es equivalente a $1+u > z$, es decir, satisfecho si $u>z-1$.

   En consecuencia, $u<z-u<1$ ocurre si, y sólo si, $$z-1<u< \frac{z}{2}.$$

Interpretación geométrica:

• La condición de $u<z-u$ corresponde a $u \in (0,1)$ tal que la función de color naranja (es decir, $f(u)=u$) está por debajo de la función de color verde ($f(u)=z-u$).
• La condición de $z-u<1$ corresponde a $u \in (0,1)$ tal que la función de color verde está por debajo de la negra línea de puntos.
• Los puntos de $u \in (0,1)$ de la satisfacción de las restricciones son de color rojo.

Para $z \in (0,1]$ vemos que la segunda condición es siempre satisfecho (la línea verde está siempre por debajo de la línea de puntos), mientras que para $z >1$ esto no es cierto ya.

Answer 2

No voy a rehacer los cálculos aquí, pero explicar "por qué debemos dividir el integrando en dos regiones".

Dada la articulación de la densidad de $f_{(X,Y)}$ la función de distribución acumulativa $F_Z$ de la variable aleatoria $Z:=X+Y$ está dado por $$F_Z(z):=P[X+Y\leq z]=2\>{\rm area}(B_z)\ ,\tag{1}$$ donde $$B_z:=\bigl\{(x,y)\>|\>0\leq x\leq y, \ x+y\leq z\bigr\}\ .$$ El factor de $2$ en la formla $(1)$ proviene de $f_{(X,Y)}(x,y)=2$ en el gran triángulo, que se ocupa del hecho de que el área de este triángulo es ${1\over2}$.

Buscando en la figura de arriba, tenemos que darnos cuenta de que ${\rm area}(B_z)$ no está dada por una sola expresión universal en la variable $z$, y que será necesario distinguir los casos, la más importante es la $z\leq1$ vs $z\geq1$. Después de haber hecho la geometría correctamente es entonces un asunto fácil para calcular $$f_Z(z)={d\over dz}F_Z(z)\ ,$$ y usted va a obtener los valores dados en el libro.