Una posible generalización del teorema de Wilson utilizando el determinante de una matriz

Question

No estoy seguro de si se conoce el siguiente resultado o se conoce un resultado equivalente. Creo que, si el resultado se mantiene entonces esto podría ser utilizado un ejercicio de teoría numérica elemental.

Dejemos que $k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ se arreglen. Para $n\in \mathbb{N}$ , dejemos que $A_{n,k}=[a^{nk}_{ij}]$ ser un $n\times n$ matriz tal que $$a^{nk}_{ij}= \begin{cases} i & i= j \\ k & \text{otherwise} \end{cases}$$ Como una matriz, $A_{n,k}$ tiene la siguiente forma $$A_{n,k}=\left[ \begin{matrix} 1 & k & \ldots & k\\ k & 2 & \ldots & k\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ k & k &\ldots & n \end{matrix} \right]$$ Conjetura: Dejemos que $n\geq |k|$ . Si $k$ es impar , entonces $n$ es un número primo si y sólo si $$|{\det(A_{n,k})}|\equiv -|{k}| \mod n$$ y si $k$ es incluso entonces $n$ es primo si y sólo si $$|{\det(A_{n,k})}|\equiv -k \mod n .$$

Es fácil de averiguar para $k\geq 1$ , $\det A_{n,k}=(k-1)!(n-k)!$ . Así, para $k=1$ básicamente obtienes $\det A_{n,1}=(n-1)!$ que es equivalente al teorema de Wilson. Para $k>1$ obtenemos $n$ primo si $(k-1)!(n-k)!\equiv (-1)^k \mod n.$ He escrito un código Matlab para comprobarlo y parece que es cierto. ¿Alguien tiene un contraejemplo o sabe cómo demostrarlo? La generalización de Gauss del teorema de Wilson parece estar relacionada con esto pero eso sólo considera (hasta donde yo sé) enteros menores que y que son coprimos a $n$ .

P. S. Para $k=-1$ calculé el determinante de una manera no trivial y obtuve $\det A_{n,-1}={n!\big(n-(1+n)(\mathcal{H}_n-1)\big)}$ donde $\mathcal{H}_n$ es el $n$ número armónico por lo que el determinante de esta matriz parece relacionar el $n$ -número armónico con números primos también.

Answer 1

Esto es para el caso $k>0$ . Si $n$ es primo, entonces se puede ver de este puesto que

$${{n-1}\choose {k-1}}=(-1)^{k-1} \pmod n.$$ Combinando con $(n-1)!=-1 \pmod n$ se obtiene $(k-1)!(n-k)!=(-1)^k$ para todos $1\leq k \leq n$ .

Para la inversa, supongamos que $(k-1)!(n-k)!=(-1)^k \pmod n$ para algunos $1\leq k\leq n$ . Afirmamos que $n$ debe ser primo. Por el contrario, supongamos $n$ es compuesto y dejemos que $p$ sea un factor primo de $n$ . Si $k>p$ entonces $(k-1)!$ es divisible por $p$ . Si $k\leq p$ entonces $n-k\geq n-p \geq p$ y así $(n-k)!$ es divisible por $p$ . En cualquier caso $(k-1)!(n-k)!=0 \pmod p$ contradiciendo la suposición.

Para $k<0$ , dejemos que $l=-k$ y utilizar este puesto para conseguir $$\det A=\prod_{i=1}^n(i+l)-l\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}(j+l)\equiv -l \prod_{j\neq n-l}(j+l) \pmod n,$$ ya que todos los demás términos tienen un factor de $n$ . Uno tiene para ambos impar e incluso $k$ $$-l\prod_{j\neq n-l}(j+l)=-l(1+l)\cdots(n-1)(n+1)\cdots(n+l)\equiv -l(l+1)\cdots(n-1)(1)(2)\cdots (l)\equiv-l(n-1)! \equiv k(n-1)! \pmod n.$$

Por lo tanto, $\det A \equiv -k \pmod n$ si y sólo si $n$ es primo por el teorema de Wilson.