Si cada convergente larga converge a $a$, entonces también lo hace el original delimitada secuencia (Abbott p 58 q2.5.4 y p2.5.3 b)

Question

Suponga $(a_{n})$ es un almacén de secuencia de tal forma que cada convergente larga de $(a_{n})$ converge al mismo límite de $a\in \mathbb{R}$. Espectáculo $(a_{n})$ debe converger a $a$.

Demostrar por contradicción. Probar el contrapositivo: Si $(a_{n})$ es un almacén de secuencia que no convergen en el número de $a\in \mathbb{R}$, entonces hay algunas larga que converge a $b \neq a$ (videlicet, no todos los convergente larga converge a una).

1. Cómo presagio de la prueba mediante el contrapositivo? ¿Por qué no una prueba directa?

Supongamos $(a_{n})$ es un almacén de secuencia que no converge a $a$. En otras palabras, negar [ para cada $\epsilon >0$, hay un $N\in \mathbb{N}$ tal que, para todos los $n\geq N,\ |a_{n}-a|<\epsilon$ ]. Pasar de la negación a través de los diversos cuantificadores. Esto significa que hay algunos $\epsilon_{0}>0$ tal que, para todos los $N\in \mathbb{N}$, hay un $n \geq N$ tal que $|a_{n}-a|\geq\epsilon_{0}$. Declaró en otras palabras, estamos asumiendo que hay algo de $\epsilon_{0}>0$ tal que infinitamente muchas de las $a_{n}$'s en una distancia de al menos $\epsilon_{0}$$a$.

Ahora, estos infinidad de $a_{n}$'s forma una larga; llamarlo $(a_{n_{k}})$ . Desde $(a_{n})$ es acotado, la subsequence $(a_{n_{k}})$ es también limitada. Por lo tanto, por la de Bolzano-Weierstrass Teorema, $(a_{n_{k}})$ contiene convergente subsequence $(a_{n_{k_{\ell}}})\rightarrow b$. Desde cada una de las $a_{n_{k_{\ell}}}$ está a una distancia de al menos $\epsilon_{0}$$a$, lo $b\neq a$. Ergo, no todos los convergente larga de $(a_{n})$ converge a $a. \square $

2. Entiendo los pasos de la prueba, pero no es el modus operandi de la prueba. La pregunta plantea un convergentes larga, por lo que trabajamos con $\{a_{n_k}\}.$
Cómo presagiar necesitamos un convergentes sub secuencia $\{a_{\Large{{n_{k_l}}}}\} $?

3. La intuición, por favor? La figura, por favor?

Se me olvidó que me preguntó acerca de esto antes, pero esta pregunta mejorando la vieja.

Answer 1

Una prueba directa es normalmente más fácil cuando usted tiene algunos obvios mecanismo para ir de una hipótesis a la conclusión deseada. (E. g. considere la posibilidad de la prueba directa de que la suma de dos secuencias convergentes es convergente.)

Sin embargo, en la declaración de al lado, no está claro el mecanismo para deducir que la secuencia converge a $a$. Esto ya sugiere que podría ser vale la pena considerar más rotonda argumento por contradicción o por el contrapositivo.

También, tenga en cuenta las hipótesis. Hay dos de ellos: la secuencia de $(a_n)$ es acotado, y cualquier convergente larga converge a $a$.

Cuando vemos que la sucesión está acotada, la primera cosa que viene a la mente es Bolzano--de Weierstrass: cualquiera limitada secuencia convergente larga.

Pero si comparamos esto con la segunda hipótesis, no es tan obviamente útil: ¿cómo va a ayudar a aplicar Bolzano--de Weierstrass para intentar y conseguir $a$ como el límite, cuando ya por la hipótesis de que cada convergente larga ya converge a $a$?

Esto sugiere que valdría la pena tratar de encontrar un argumento donde llegamos para aplicar Bolzano--de Weierstrass de tal manera que podamos obtener un convergentes larga con un límite diferente de la una; y así obtener una contradicción. En otras palabras, dada la combinación de la hipótesis con nuestra herramienta básica (Bolzano--de Weierstrass), parece que va para una prueba por contrapositivo/contradicción podría ser un enfoque fructífero. (Por supuesto, nosotros no lo sabemos con certeza hasta que no estamos hecho $\ldots$; pero estoy tratando de describir un proceso de pensamiento que sugiere el enfoque a través de la contrapositivo.)

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Contrapositivo también se sugiere que si nos escribe lo que estamos tratando de hacer:

Queremos mostrar que $(a_n) \to a$.

• Si lo hace, genial! Hemos terminado.

• Si no, entonces por definición de convergencia a $a$, hay un $\epsilon_0 > 0$ y una larga $(a_{n_k})$ $(a_n)$ tal que $|(a_{n_k}) - a| \geq \epsilon_0 $ todos los $k$. Derivado de este paso es el contenido del párrafo que comienza así: "Supongamos que ..." y termina ", Declaró en otras palabras ... ", junto con la primera frase del párrafo siguiente).

Cuando usted está tratando de construir una prueba, y no ver lo que se hace, sin embargo, es siempre una buena idea para escribir la definición de lo que usted está tratando de probar, y de su negación. Entonces usted puede mirar en ellos y ver que uno mallas mejor con su las hipótesis.

Aquí, como he dicho, no hay ninguna obvio mecanismo para que se derivan directamente $(a_n) \to a$. Pero si asumimos la negación, por su misma definición, es da a nosotros una larga y podemos aplicar Bolzano--de Weierstrass para este subsequence. (Usted podría preguntarse por qué no podemos aplicar Bolzano--de Weierstrass directamente a nuestro secuencia original. Pero como ya escribí anteriormente, esto no dar nada. Pero nuestra larga $(a_{n_k})$ no puede converger a $a$ --- siempre permanece positiva distancia$\epsilon_0$$a$. Así que ahora podemos prestigio de Bolzano--de Weierstrass.)

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En cuanto a por qué tenemos un sub-sub-secuencia, que sólo surge de forma natural cuando aplicamos Bolzano--Weierstrass (que produce una larga) a la la negación de la afirmación de que $(a_n) \to a$ (que ya prodced un larga).

Usted no debe centrarse demasiado en la iterada sub! En su lugar, pensar en términos de procedimientos: en primer lugar se aplicó la negación de la declaración de se ha demostrado (y que nos dio una larga), luego se aplicó Bolzano--Weierstrass (y que nos dio un subsubsequence).

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Es posible que desee ver en algunos de Timoteo de Gower puestos en las pruebas de análisis real. (Mi discusión aquí es bastante inspiran en gran medida en su punto de vista. El enlace es relativamente reciente post, pero tiene algunos mensajes anteriores también, ver aquí para algunos. En particular, me gusta este. Con buscar un poco en google, usted debería ser capaz de encontrar más, creo; él está muy interesado en el teorema demuestra como un proceso, y se ha escrito mucho sobre ello en una forma que pueda ayudar a usted.)

Answer 2

La otra respuesta es completo y muy bien explicado. Esta respuesta tiene el propósito de ser una guía de referencia rápida para alguien que se tropieza en este problema.

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Hay una forma recurrente útil lema en el análisis (y topología), que es:

Lema: Vamos a $a_n$ ser una secuencia en un espacio de $X$ $a \in X$ tal que para cada subsequence de $a_n$ hay una larga que converge a $a$. A continuación, $a_n$ converge a $a$.

Prueba: Supongamos que no convergen a $a$. A continuación, podemos encontrar un barrio de $a$ y una larga de $a_n$ de manera tal que nunca se entra en el barrio. Pero esta larga puede tener larga convergentes a $a$, una contradicción. $\blacksquare$

Ahora el ejercicio:

Solución: Deje $a_{n_i}$ ser un subsequence de $a_n$. Por Bolzano-Weierstrass, hay una larga de $a_{n_i}$ que converge. Por hipótesis, que converge a $a$. Aplicando el lema anterior se obtiene el resultado. $\blacksquare$

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Tenga en cuenta que el argumento anterior es válido para cada espacio compacto. En particular, también para $[-\infty, +\infty]$.