Demostrar o refutar que $8c+1$ es un número cuadrado.

Question

Dejemos que $a,b,c$ sean enteros positivos, con $a-b$ primo, y $$3c^2=c(a+b)+ab.$$ Demostrar o refutar que $8c+1$ es un número cuadrado.

Answer 1

Sí, es cierto. Aquí vamos: Escribe $b=a-p$ . Entonces, si escribes la expresión como una ecuación cuadrática en $c$ , se obtiene $3c^2-(2a-p)c+ap-a^2=0.$ Ahora, por la fórmula cuadrática, veamos que como queremos $c$ para ser entero, debemos tener $(2a-p)^2-12(ap-a^2)=x^2$ para algún número entero, digamos positivo $x$ . Reescribiendo de una manera mejor, se obtiene $(4a-2p)^2=x^2+3p^2$ , que resulta ser $(4a-2p-x)(4a-2p+x)=3p^2.$ Ahora bien, como $p$ es primordial, hay algunos casos diferentes que debemos mirar:

1) $4a-2p-x=1, 4a-2p+x=3p^2$ : Aislamiento $2a-p$ y $x$ , se obtiene $x=\frac{3p^2-1}{2}, 2a-p=\frac{3p^2+1}{4}.$ Introduciendo estos dos en la fórmula cuadrática, se obtiene $c=\frac{9p^2-1}{24}$ o $c=\frac{-3p^2+3}{24}$ donde el primero no puede ser un número entero ya que el numerador no es divisible por $3$ y este último no es positivo. Por lo tanto, no hay solución de este caso.

2) $4a-2p-x=3, 4a-2p+x=p^2$ . Del mismo modo, se obtiene $2a-p=\frac{p^2+3}{4}, x=\frac{p^2-3}{2}$ . Si se introducen estos datos, y se elimina la posible raíz negativa, se obtendrá $c=\frac{p^2-1}{8}$ que dice que $8c+1=p^2.$

3) $4a-2p-x=p, 4a-2p+x=3p$ . A partir de aquí, se obtiene $x=p, 2a-p=\frac{p}{2}$ que obliga a $p$ para ser $2$ , por lo que se obtiene $a=\frac{3}{2}$ Por lo tanto, no hay solución también en este caso.

Nótese que todos estos son casos posibles, ya que $4a-2p-x<4a-2p+x.$

Answer 2

Dejemos que $a,b,c\in\mathbb{Z}^+$ con $a−b\in\mathbb{P}$ y $$4c^2=(a+c)(b+c).$$ Entonces $$a=r^2t-c \,\,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\,\,b=s^2t-c\,\,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\,\ 2c=rst$$ para algunos $r, s, t:=\gcd(a+c,b+c) \in\mathbb{Z}^+.$ Desde $$a-b=t(r-s)(r+s)$$ es primo, debemos tener $r=s+1$ y $t=1$ . Por lo tanto, $$2c=s(s+1)\implies \color{Blue}{8c+1=(2s+1)^2.}$$

Answer 3

Esta no es una respuesta completa, pero puede empujar a alguien en la dirección correcta. El siguiente código primitivo de Maple busca soluciones dentro de los límites $1 \leq a,b,c \leq m$ para algunos $m \in \mathbb{N}.$ (Y bajo la restricción adicional $b > a$ ya que el problema es simétrico en $a$ y $b.$ ) Por razones tontas de programación mi suposición es que $b - a$ es primo, así que cambia el $a$ y $b$ de los comentarios alrededor.

m := 200;
for a to m do
for b from a+1 to m do
for c to m do
if `and`(evalb(sqrt((c*(a+b)+a*b)*(1/3)) = c), isprime(b-a)) then print([a, b, c], b-a, sqrt(8*c+1)) end if
end do end do end do;

La salida para $m = 200$ es la siguiente:

[1, 6, 3], 5, 5
[3, 10, 6], 7, 7
[10, 21, 15], 11, 11
[15, 28, 21], 13, 13
[28, 45, 36], 17, 17
[36, 55, 45], 19, 19
[55, 78, 66], 23, 23
[91, 120, 105], 29, 29
[105, 136, 120], 31, 31
[153, 190, 171], 37, 37

Lo que hay que destacar aquí es que siempre es el caso que $8c+1 = (b-a)^2.$ Por lo tanto, es de suponer que para demostrar que $8c+1$ es un número cuadrado hay que intentar demostrar que es exactamente el cuadrado del primo $b-a.$

Answer 4

Creo que puedes hacerlo más fácil. Parametrización - es decir, la solución de ecuaciones diofantinas.

$$3c^2=c(a+b)+ab$$

Tenga este formulario.

$$c=(p+s)s$$

$$a=(3s-p)s$$

$$b=(p+s)p$$

Entonces la diferencia será igual.

$$a-b=3s^2-ps-p^2-ps=3s^2-2ps-p^2=4s^2-(p+s)^2=$$

$$=(2s-p-s)(2s+p+s)=(s-p)(3s+p)$$

Este número será más fácil si $s=p+1$

Sustituye y encuentra el número en sí.

$$8c+1==8s(p+s)+1=8(p+1)(2p+1)+1=$$

$$=8(2p^2+3p+1)+1=16p^2+24p+9=(4p+3)^2$$

Todo. Es un cuadrado.