¿Cómo puedo evaluar este complejo integral de la $\int_{|z|=1}e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z}}dz$?

Question

Estoy tratando de evaluar los siguientes complejo integral de utilizar el residuo método. $$\int_{|z|=1}e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z}}dz$$

El punto de $z_0=0$ parece ser una singularidad. No estoy seguro, pero creo que es también un no-extraíble. He intentado utilizar la expansión de Taylor de $e^x$$\cos{x}$, ya que por lo general ayuda.

$$e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z}}=(1+\frac{1}z+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+...)(1-\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{4!z^4}-...)\\=>e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z}}=(1+\frac{1}{z}+...)$$

Parece que el poder negativo términos son infinitas mostrando que $z_0=0$ es ningún polo. Si no me equivoco, el coeficiente de $1/z$,$1$, es el residuo de la singularidad y esto conduce al resultado:$$ \int_{|z|=1}e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z}}dz=2\pi i$$

Creo que no he evaluado otras integrales con no extraíble singularidades y no estoy seguro acerca de todo el proceso..

Answer 1

Estás en lo correcto. Es esencial una singularidad con residuo $1$. Usted puede encontrar una primitiva (definido lejos de cero) para $$ e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z}} - \frac{1}{z} $$ just using that $\displaystyle\frac{z^{1-n}}{1-n}$ is a primitive for $z^{-n}$, with $n>1$. Por lo tanto la $$ \int_{|z|=1}e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z} - \frac{1}{z}}dz= 0 $$ Y el único término de $e^{\frac{1}{z}}\cos{\frac{1}{z}}$ que contribuye a la integral es $\frac{1}{z}$. Este tipo de argumento aparece en la prueba del Teorema de los Residuos.

Answer 2

Suponiendo que $|z|=1$ es de orientación positiva (que es la convención), en su trabajo se ve bien para mí. El teorema de los residuos no importa el tipo de singularidades en el simplemente conectado dominio torno a la cual se está integrando, sólo que hay un número finito de tales singularidades. Además, el método que usted usa para calcular el requerido residuo no requieren el implícita la singularidad de ser de un tipo determinado; puede ser tomado como la definición del residuo.