Rastreando el supuesto de localidad en una derivación de desigualdad CHSH

Question

Desigualdad CHSH requiere tanto localidad y realismo . Equipararé aquí realismo con definitividad contrafáctica .

Ahora bien, la definitividad contrafáctica nos dice que dadas dos mediciones diferentes sobre el mismo objeto, descritas por variables aleatorias $C_1$ y $C_2$ existe una distribución de probabilidad conjunta para $C_1$ y $C_2$ (no siempre es así, busquemos el problema marginal y, de hecho, sabemos que los resultados de las mediciones de observables no conmutativos no poseen una distribución de probabilidad conjunta). Ahora bien, si podemos suponer la existencia de una distribución de probabilidad conjunta, entonces los valores de las expectativas $E(C_1) + E(C_2)$ pueden unirse para tener $E(C_1 + C_2)$ .

Supongamos que ahora tenemos cuatro variables aleatorias $A_1$ y $B_1$ local de Alice y $A_2$ y $B_2$ para Bob, que puede tomar los valores $\pm 1$ . La expresión de la desigualdad CHSH es $$|E(A_1 A_2) + E(A_1 B_2) + E(B_1 A_2) - E(B_1 B_2)|$$ Ahora bien, si podemos asumir el realismo (definición contrafáctica), existe una distribución de probabilidad conjunta para los resultados de las cuatro variables aleatorias, y podemos unir los valores de las expectativas anteriores para obtener $$\Bigl\lvert E\bigl(A_1 (A_2 + B_2) + B_1 (A_2 -B_2)\bigr)\Bigr\rvert$$ Así que ahora hacemos el truco estándar en el que $A_2$ y $B_2$ son iguales o son opuestos, de modo que el primer término es o bien $\pm 2$ y lo mismo para el segundo mandato.

Ahora a mi pregunta. Obviamente, he utilizado el supuesto de realismo en lo anterior. Asumo que la localidad significa que las distribuciones marginales para $A_1$ y $B_1$ son independientes de la elección de variables aleatorias que haga Bob, $A_2$ o $B_2$ (pero por lo demás permito la correlación de resultados, siempre que sea independiente de la elección de la medida, ya que puede haber variables ocultas que fueron codificadas en el origen del estado que producen correlaciones). ¿Dónde he utilizado el supuesto de localidad en esta derivación? Me gustaría que me indicaras con precisión dónde se necesita este supuesto en este cálculo o que argumentaras que no es necesario con una justificación convincente.

Edita: Dada la respuesta a continuación, parece probable que el supuesto de localidad se haya utilizado en el punto en el que tomamos $E(C_1) + E(C_2) = E(C_1 + C_2)$ . Sin embargo, todavía no se entiende por qué el realismo no es suficiente para llegar a esta conclusión sin el supuesto de localidad. Como se ha dicho antes, la cuestión es por qué el razonamiento anterior no es correcto y se necesita el supuesto de localidad, o alternativamente también estoy abierto a la idea de que podría no ser necesario.

Edita 2: He recibido una respuesta satisfactoria a esta pregunta en MathOverflow de @Steven Landsburg.

La existencia de una distribución de probabilidad conjunta para las cuatro variables es definitivamente suficiente para obtener la desigualdad. La existencia de distribuciones de probabilidad conjuntas para (A1,B1) y (A2,B2) (es decir, "realismo") es definitivamente no suficiente para implicar una distribución de probabilidad conjunta para los cuatro. La localidad es un supuesto adicional suficiente.

También demuestra que la definición contrafactual de los resultados locales no es condición suficiente para obtener la desigualdad CHSH.

Answer 1

Doy una derivación completa y toco este punto en esta otra respuesta pero para hacer un resumen rápido, la idea principal es que el supuesto de localidad nos permite escribir $$E_\lambda(A_x B_y)=E_\lambda(A_x)E_\lambda(B_y),$$ donde $E_\lambda(A_x)$ denota el valor esperado de la salida $A$ (digamos, la salida de Alice) para el ajuste de medición $x$ para un valor dado de la variable oculta $\lambda$ y $E_\lambda(A_x B_y)$ es el valor esperado del producto de las salidas observadas por Alice y Bob para las configuraciones de medición $x$ y $y$ respectivamente.

Una vez que se puede escribir esto (que no es más que una reescritura del supuesto de localidad en términos de valores de expectativa), se deduce que $$S_\lambda= E_\lambda(A_0)[E_\lambda(B_0)+E_\lambda(B_1)] + E_\lambda(A_1)[E_\lambda(B_0)-E_\lambda(B_1)],$$ y así se obtiene $\lvert S_\lambda\rvert\le2$ y $\lvert S\rvert\le2$ .

Answer 2

No lo pensé mucho, pero seguramente es la suposición $E(C_1)+E(C_2)=E(C_1+C_2)$ es el culpable, y CHSH es lo mismo que el argumento de Von-Neumann contra las variables ocultas. El fallo es analizado por Bell, en relación con la teoría de Bohm, en el libro Lo decible y lo indecible en la mecánica cuántica .

La razón $E(C_1+C_2) = E(C_1) + E(C_2)$ es local es porque estás asumiendo que las medidas de 1 y 2 son independientes para concluir que los valores esperados suman así. De lo contrario, la medición de $C_1$ podría afectar $C_2$ . La teoría de Bohm es suficiente para ver que no hay ningún argumento independiente de la localidad.

No me gusta la desigualdad CHSH, porque es un refrito de Von-Neumann, no es original, y falla de la misma manera que fue explicada en detalle por Bell usando a Bohm.