Deje $k$ ser un campo y $Q$ un ideal de a $k[x]=k[x_1,\dots,x_s]$ tal que $R=k[x]/Q$ ha Krull dimensión igual a $d>0$. Definir $V=x_1 k + \cdots +x_s k$ a ser el espacio vectorial lineal de las formas más $k$. Deje $P_1,\cdots, P_t$ ser el mínimo primos divisores de $Q$. Desde $P_i \not\supset V$ (de otro modo se $\dim R=0$, la contradicción), se puede seleccionar una forma lineal $l_1(x) \in V$ que no está contenida en ninguna de las $P_i$. Entonces ninguno de los mínimos primos divisores de $(Q,l_i(x))$ es un divisor primo minimal de a $Q$ y esto demuestra que $\dim k[x]/(Q,l_1(x)) <\dim k[x]/Q=d$.
Pregunta: ¿podemos decir que $\dim k[x]/(Q,l_1(x))=\dim k[x]/Q-1$? Si sí, ¿cómo ven?
Comentario: sospecho que este es el caso, ya que estamos usando una forma lineal $l_1(x)$. Para un contexto en el que esta cuestión se plantea, ver la segunda parte del paso 1 en la prueba del teorema 14.14 Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría.
