Integrando $3^{2x}$ ($\int 3^{2x} dx $)

Question

Estoy tratando de integrar lo siguiente: $3^{2x}$

Mi trabajo se ha mostrado de la siguiente manera

$$\int 3^{2x} dx $$

Usé la sustitución $u = 2x$, entonces

$$\frac{du}{2} = dx $$

por lo tanto

$$\int 3^{2x} dx = \int 3^{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 3^{u} du $$

Sin embargo, no puedo avanzar más.

A partir de esto, no puedo probar el resultado general de $\int a^{x} dx $ tampoco.

¿Alguien puede ayudar?

¡Gracias!

Answer 1

Ten en cuenta que $3^{2x} = 9^x$, por lo que estás básicamente volviendo al punto de partida.

A continuación, ten en cuenta que $9^x = e^{x \ln 9}$. Para ver esto: $$ e^{x \ln 9} = (e^{\ln 9})^x = 9^x $$

Por lo tanto, $$ \int 3^{2x} dx = \int 9^x dx = \int e^{x \ln 9} dx $$ Ahora, deja $y = x \ln 9$, de modo que $dy = (\ln 9) dx$. $$ \int e^{x \ln 9} dx = \int e^y \frac{dy}{\ln 9} = \frac{e^y}{\ln 9} + C = \frac{9^x}{\ln 9} + C $$

Vale la pena notar que la derivada es la misma que la función original hasta una constante ($\frac 1{\ln 9}$) y la constante de integración.

Answer 2

Pista: $\displaystyle\int{a^{mx}}\ dx=\dfrac{a^{mx}}{m\cdot\ln a}+c$

Answer 3

Fórmula -

$$\int a^x = \frac{a^x}{\ln a} + c$$

Ahora tenemos,

$$\frac{1}{2}\int 3^{u} du $$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{3^u}{\ln 3} + c$$

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{2x}}{\ln 3} + c$$

Answer 4

Ten en cuenta que $$ D3^{u} = D(\exp (u\log 3)) = \exp(u\log 3)\cdot \log 3 = 3^{u}\log 3. $$ Entonces $$ \int 3^{u} = \int \frac{D3^{u}}{\log 3} = \frac{3^{u}}{\log 3} + \text{constante}. $$