Hay un simple grupo y subgrupo con intermedios de celosía $B_{3}$?

Question

Deje $G$ ser un grupo simple finito y $H$ a un subgrupo.
Consideramos que el entramado de intermedio entre subgrupos $H$$G$, señaló $\mathcal{L}(H \subset G )$.

Deje $B_{n} = \mathcal{L}(\{ e\} \subset C_n )$ $C_n$ el grupo cíclico de orden $n=p_1p_2 \dots p_n$ plaza libre.
El entramado $B_{3}$ es la siguiente:

Pregunta: ¿hay un grupo simple finito $G$ y un subgrupo $H$ tal que $\mathcal{L}(H \subset G ) = B_{3}$

Comentario: la BRECHA se ha encontrado ningún ejemplo para $\vert G \vert <5000$.

Esto puede comprobarse rápidamente para $\vert G \vert <10^6$ utilizando el atlas de subgrupo celosías de finito casi simple grupos (por Thomas Connor y Dimitri Leemans), pero no es (todavía) disponible en la BRECHA.

Answer 1

En $S_n$, en el subgrupo $S_a\times S_b$, $a+b=n$, $a\not=b$ es máxima. Así que tomando el máximo de tres subgrupos como estabilizadores en $S_n$ de los distintos conjuntos de diferentes cardinalidades se ve como un buen lugar para comenzar para dichas configuraciones. De hecho, la búsqueda a través de la alternancia de los grupos se encuentra el siguiente ejemplo (aunque no es de este tipo que han motivado la búsqueda a través de la alternancia de grupos...):

Si usted toma $G=A_8$ $H=t_8n_{29}=[2^3]D(4)$ (de orden 64) se cumple con la condición (según un cálculo explícito en la BRECHA:

g:=AlternatingGroup(8);
u:=TransitiveGroup(8,29);
int:=IntermediateSubgroups(g,u);

En caso de que alguien se interesa, y para satisfacer la (gap)-etiqueta, aquí está el código que he usado para la búsqueda. Sólo las pruebas para 6 intermedio de los subgrupos, la prueba final de los grupos, a continuación, es una mano de inspección del resultado de IntermediateSubgroups.

test:=function(G)
  local m,allmax,m2,m3,mm,i,j,int;
  m:=MaximalSubgroupClassReps(G);
  allmax:=MaximalSubgroups(G);
  Print("|m|=",Length(m),"\n");
  Print("|allmax|=",Length(allmax),"\n");
  m2:=Union(List(m,x->Filtered(MaximalSubgroupClassReps(x),
      y->Number(allmax,z->IsSubset(z,y))=2)));
  Print("|m2|=",Length(m2),"\n");
  m2:=List(SubgroupsOrbitsAndNormalizers(G,m2,false),x->x.representative);
  Print("|m2|=",Length(m2),"\n");
  m3:=[];
  for i in [1..Length(m2)] do
    mm:=Filtered(MaximalSubgroupClassReps(m2[i]),
      y->Number(allmax,z->IsSubset(z,y))=3);
    Print(i,", |mm|=",Length(m2),"\n");
    for j in mm do
      int:=IntermediateSubgroups(G,j);
      if Length(int.subgroups)=6 then
        Print("found!\n");
        Add(m3,j);
      fi;
    od;
  od;
  m3:=List(SubgroupsOrbitsAndNormalizers(G,m3,false),x->x.representative);
  return m3;
end;