Hemos tenido un largo debate de ayer, acerca de cómo probar que la circunferencia de un círculo es $2\pi r$. Mediante el uso de google, el más comúnmente encontrado prueba inicia de la siguiente manera.
"Considerar la n-ágono regular dentro del círculo tocando el círculo de sus vértices, y la n-ágono regular fuera del círculo tocando el círculo en sus bordes. Luego de la circunferencia interior de la n-gon es más pequeña que la circunferencia del círculo, que es más pequeña que la circunferencia exterior de la n-gon."
Mientras que al parecer, esto es cierto para n-ágonos, no es cierto arbitrarias de las figuras geométricas dentro y fuera del círculo. Así que conjeturó que era la convexidad de la n-gon que es de suma importancia. Lo que nos lleva a la pregunta:
Deje $C$ ser un círculo con un radio de $r$, e $A_n$ ser una familia de conjuntos convexos con $A_n \subset C$ por cada $n$. Si, por $n \rightarrow \infty$, el volumen de estos conjuntos converge a $\pi r^2$ (el volumen de $C$), la circunferencia necesariamente convergen a $2\pi r$?
