Función de distribución de una variable aleatoria exponencial

Question

Estoy tratando de responder a la pregunta $F(x)$ es de distribución con $F(0)=0$ $F(x)<1$ algunos $x>0$. Espectáculo $F(x)$ es la función de distribución de una exponencial de la variable aleatoria iff $$F(x+y)-F(y)=F(x)\left(1-F(y)\right).$$

Empecé con la CDF de la función exponencial, que es $F(x)=1-e^{-kx}$. Luego tomé esta función y lo conecté a la desigualdad de $F(x+y)-F(y)=F(x)\left(1-F(y)\right)$ y consiguió el dejar de lado igual al lado derecho.

Sin embargo donde estoy atascado es que yo no estoy seguro de cómo demostrar a la inversa.

Answer 1

Si asumimos que la variable aleatoria tiene la función de densidad de $f$, es decir, suponiendo que el CDF es diferenciable, podemos escribir: $$ \frac{F(x+y)-F(y)}x=\frac{F(x)}{x}\left(1-F(y)\right). $$ Ahora vamos a $x\to 0$, obtenemos la siguiente ecuación diferencial ($F'(0)=\lambda$): $$ F'(y)=\lambda\left(1-F(y)\right)\implica \a la izquierda(e^{\lambda y}F(y)\right)'=\lambda e^{\lambda y}\implica\\ e^{\lambda y}F(y)=e^{\lambda y}+C\implica F(y)=1+Ce^{-\lambda y}. $$ El uso de $F(0)=0$, resulta que $C=-1$.

Sin embargo, la diferenciabilidad no es parte de sus supuestos, así que tienes que ir a por funcional de la ecuación tipo de solución, el cual es mencionado en los comentarios. Elija $G(x)=1-F(x)$ y consigue $G(0)=1$: $$ G(x+y)=G(x)G(y), $$ cuya solución se puede encontrar en una sencilla (ver comentarios).