Álgebra de Banach unital conmutativa con elementos nilpotentes

Question

¿Cuál sería un ejemplo concreto de un álgebra de Banach unital conmutativa que contiene elementos nilpotentes?

Answer 1

Si se considera un ideal cerrado (de dos caras) $I$ del álgebra de Banach $A$ entonces puedes dotar $A/I$ con la norma del cociente

$$ \|a+I\|=\inf_{x\in I}\|a+x\| $$

y esta norma hace que $A/I$ en un álgebra de Banach (véase la prueba en PlanetMath ).

Si ahora considera $a\in A$ y el cierre $I$ del ideal generado por $a^n$ entonces $a+I$ será nilpotente en $A/I$ .

Otro ejemplo. Dejemos que $A$ sea un álgebra de Banach conmutativa y consideremos $B=A\oplus A$ dotado de la norma $\|(a,v)\|=\|a\|+\|v\|$ . Entonces $B$ es un espacio de Banach. Definir una operación sobre $B$ por

$$(a,v)(b,w)=(ab,aw+bv)$$

Es fácil comprobar que se trata de una buena multiplicación girando $B$ en un álgebra. Para la norma tenemos \begin{align} \|(a,v)(b,w)\|&=\|(ab,aw+bv)\|\\ &=\|ab\|+\|aw+bv\|\\ &\le\|ab\|+\|aw\|+\|bv\| &&\text{(triangle inequality)}\\ &\le\|a\|\,\|b\|+\|a\|\,\|w\|+\|b\|\,\|v\| &&\text{($A$ is a Banach algebra)}\\ &\le\|a\|\,\|b\|+\|a\|\,\|w\|+\|b\|\,\|v\|+\|v\|\,\|w\|\\ &=(\|a\|+\|v\|)(\|b\|+\|w\|)\\ &=\|(a,v)\|\,\|(b,w)\| \end{align} Así, $B$ es un álgebra de Banach y cada elemento de la forma $(0,v)$ es nilpotente, porque $(0,v)^2=(0,0)$ .

Answer 2

Triángulo superior Matrices Toeplitz dar otro ejemplo, es decir, la subálgebra unital de la $n$ -por- $n$ generadas por la matriz con $1$ s en la superdiagonal y $0$ s en otros lugares.

De forma más general, tomemos cualquier elemento nilpotente (no nulo) $a$ de un álgebra de Banach unital $B$ entonces toma la subálgebra unital de Banach de $B$ generado por $a$ .