Matrices de funciones commute

Question

Dadas dos $n\times n$ matrices $A(z), B(z)$ con la totalidad de las funciones de las entradas; con

$A$ $B$ invertible en a $\mathbb{C}$, e $A$ es normal (es decir, $A(z)A^{*}(z)=A^{*}(z)A(z)$$\mathbb{C}$).

Si $A(z)B(z)=B(z)A(z)$ , e $A(z)B^{*}(z)=B^{*}(z)A(z)$ todos los $z\in \mathbb{C}$,

¿esto implica que

$$A(z)B(w)=B(w)A(z) , \quad \text{for all}\; z,w\in \mathbb{C}?$$

Añadido: Puede estar mostrando si $A(z)A(w)=A(w)A(z)$ podría ayudar!

Answer 1

Vamos $$A(z)=B(z)= \begin{bmatrix} z & z-1 \\ z+1 & z \end{bmatrix}.$$ A continuación, $A$ es invertible y normal para todos los $z$. Sin embargo, $A(1)B(2)\neq B(2)A(1)$.