Es $\int_0^t \left[f(x)-g(x) + l\right]\mathrm dx > \int_t^1 \left[f(x-t)-f(x)\right] \mathrm dx$?

Question

Considere la posibilidad de $f,g$ donde $f(x) > g(x) \ge 0 \ \forall x \in (0,1)$ y $f(0) = g(0)$, $f(1) = g(1)$ . Es la siguiente desigualdad verdadera?

$$\int_0^t \left[f(x)-g(x) + l\right]\mathrm dx > \int_t^1 \left[f(x-t)-f(x)\right] \mathrm dx$$

para cualquier $l > 0, 0<t<1$

Answer 1

La desigualdad no es cierto. Para un contra-ejemplo (y no precisamente el más fácil) considerar $$f(x) = 1 -\frac{x}{2},$$ $$g(x)=f(x) - x(1-x)$$ and $l=\frac{1}{24}$ and $t=\frac{1}{2}$. Then the left hand side is $\frac{5}{48}$ and the right hand side is $\frac{1}{8} = \frac{6}{48}$.