Un ejercicio acerca de Lebesgue integrable funciones y convergencia

Question

Deje $(\Omega ,F,\mu)$ a ser una medida de espacio & $\{f_n\}$ una secuencia de no negativo de Lebesgue integrable funciones. Si $\{f_n\}$ converge en la medida para la función $f $ & la integral converge a $\int_\Omega f < \infty $, demuestran que, a $\int_\Omega |f_n -f|\,d\mu$ converge a $0$, cuando se $n $ va al infinito.

Parece fácil, pero no tuve éxito.

Me ayudan por favor.

Answer 1

Desde $\{f_n\}$ es una secuencia de no negativo de Lebesgue integrable funciones y $\{f_n\}$ converge en la medida para la función$f $,$\mu([f<0])=0$. Por lo $f\geqslant 0$.e.. Así que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $f\geqslant 0$.

Ahora considere el $f_n \wedge f$ definido por $(f_n \wedge f)(x)=\min\{f_n(x),f(x)\}$, para cada una de las $x \in \Omega$.

Ya que para cualquier $\varepsilon>0$, $$ [\vert (f_n \wedge f)-f \vert\geqslant \varepsilon ]= [f-(f_n \wedge f)\geqslant \varepsilon ] = [f-f_n \geqslant \varepsilon ] \subseteq [\vert f_n -f \vert \geqslant \varepsilon ] $$ tenemos que $\{f_n \wedge f\}$ converge en la medida para la función $f$. Pero sabemos que, para todos los $n$, $\vert f_n \wedge f \vert = f_n \wedge f \leqslant f $ y $\int_{\Omega } f d\mu< \infty $. Así que podemos aplicar el Teorema de Convergencia Dominada (para la convergencia en medida) y tenemos que $$\lim_{n \to \infty}\int_{\Omega } f_n \wedge f d\mu = \int_{\Omega } f d\mu$$ A conclute la prueba, tenga en cuenta que $$\vert f_n-f\vert = f_n+f-2(f_n\wedge f)$$ Así $$\int_{\Omega } \vert f_n-f\vert d\mu = \int_{\Omega } f_n d\mu +\int_{\Omega } f d\mu -2\int_{\Omega } (f_n\wedge f) d\mu $$ Y así, desde $\lim_{n \to \infty}\int_{\Omega } f_n d\mu = \int_{\Omega } f d\mu$ hemos $$ \lim_{n \to \infty}\int_{\Omega } \vert f_n-f\vert d\mu =0$$

Observación: tenga en cuenta que NO se supone que $\mu(\Omega)<+\infty$.